[论文解读] Symmetry Classification of Many-Body Lindbladians: Tenfold Way and Beyond

Lucas Sá, Pedro Ribeiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2022

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用 8

一句话总结

本文系统地对多体 Lindbladian（描述开放量子系统的非厄米超算符）进行了对称性分类，揭示在一般条件下，它们可归入10种非厄米对称性类，类似于 Altland-Zirnbauer 的十重分类法。该分类基于反酉对称性和酉对称性，其中完全正性和迹保持性约束了对称性类的种类，并通过显式的自旋链模型和随机矩阵统计得到验证，显示出每种类别独有的普遍能级相关性。

ABSTRACT

We perform a systematic symmetry classification of many-body Lindblad superoperators describing general (interacting) open quantum systems coupled to a Markovian environment. Our classification is based on the behavior of the many-body Lindbladian under antiunitary symmetries and unitary involutions. We find that Hermiticity preservation reduces the number of symmetry classes, while trace preservation and complete positivity do not, and that the set of admissible classes depends on the presence of additional unitary symmetries: in their absence or in symmetry sectors containing steady states, many-body Lindbladians belong to one of ten non-Hermitian symmetry classes; if however, there are additional symmetries and we consider non-steady-state sectors, they belong to a different set of 19 classes. In both cases, it does not include classes with Kramer's degeneracy. Remarkably, our classification admits a straightforward generalization to the case of non-Markovian, and even non-trace-preserving, open quantum dynamics. While the abstract classification is completely general, we then apply it to general (long-range, interacting, spatially inhomogeneous) spin-$1/2$ chains. We explicitly build examples in all ten classes of Lindbladians in steady-state sectors, describing standard physical processes such as dephasing, spin injection and absorption, and incoherent hopping, thus illustrating the relevance of our classification for practical physics applications. Finally, we show that the examples in each class display unique random-matrix correlations. To fully resolve all symmetries, we employ the combined analysis of bulk complex spacing ratios and the overlap of eigenvector pairs related by symmetry operations. We further find that statistics of levels constrained onto the real and imaginary axes or close to the origin are not universal due to spontaneous breaking of Lindbladian PT symmetry.

研究动机与目标

• 基于其在反酉对称性（如时间反演）和酉对合（如粒子-空穴、规范对称性）下的变换性质，对多体 Lindbladian 进行系统分类。
• 区分稳态区域（可能存在额外的酉对称性）与非稳态区域，由此导出两组不同的对称性类：分别为10类与19类。
• 将分类方法应用于具有周期性边界条件的长程、相互作用自旋-1/2链，采用最近邻与次近邻耦合。
• 通过退火随机耦合的退相干、自旋注入、吸收及非相干跃迁项，在全部10类中构造显式的 Lindbladian 模型。
• 对长度为 L=5,6,7,8 的链进行 Liouvillian 超算符的数值精确对角化，以计算本征值谱与本征矢。
• 通过复能级间距比与对称操作下的本征矢重叠分析体统计相关性，重点关注 |Re(λ)|, |Im(λ)| > 10⁻⁶ 的本征值，以避免边缘效应。

提出的方法

• 利用反酉操作（如时间反演）和酉对合（如粒子-空穴、规范对称性）下 Lindbladian 的变换性质，推导其对称性分类。
• 区分稳态区域（可能具有额外酉对称性）与非稳态区域，由此导出两组不同的对称性类：10类与19类。
• 将分类应用于具有周期性边界条件的长程、相互作用自旋-1/2链，采用最近邻与次近邻耦合。
• 通过退火随机耦合的退相干、自旋注入、吸收及非相干跃迁项，在全部10类中构造显式的 Lindbladian 模型。
• 对长度为 L=5,6,7,8 的链进行 Liouvillian 超算符的数值精确对角化，以计算本征值谱与本征矢。
• 通过复能级间距比与对称操作下的本征矢重叠分析体统计相关性，重点关注 |Re(λ)|, |Im(λ)| > 10⁻⁶ 的本征值，以避免边缘效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 在迹保持性、厄米性及完全正性约束下，物理上可实现的多体 Lindbladian 最多可属于多少种不同的对称性类？
• RQ2 在稳态或非稳态区域中，若存在额外的酉对称性，其对允许的对称性类集合有何影响？
• RQ3 能否将厄米哈密顿量的十重分类推广至非厄米 Lindbladian？若能，其差异何在？
• RQ4 每个对称性类中 Lindbladian 的本征值统计是否表现出普遍的随机矩阵相关性？能否通过谱特性与本征矢统计加以区分？
• RQ5 Lindbladian 的 PT 对称性在决定实轴或原点附近非普遍行为中起何作用？

主要发现

• 在无额外酉对称性或在稳态区域中，多体 Lindbladian 属于10种非厄米对称性类之一，且无类具有克勒默简并性。
• 在非稳态区域中引入额外酉对称性后，将导出另一组19种允许的对称性类。
• 厄米性保持性减少了对称性类的数量，而迹保持性与完全正性不施加进一步限制。
• 在全部10类中均构造了显式模型，包括退相干、自旋注入/移除及非相干跃迁，证实了该分类的物理相关性。
• 每种类别在复能级间距比与本征矢重叠中均表现出独特的随机矩阵相关性，且统计特性在体区具有鲁棒性。
• 靠近实轴或原点的能级统计表现出非普遍性，归因于 Lindbladian PT 对称性的自发性破缺，表明这些区域的 universality 被破坏。