[论文解读] Symmetry, Defects, and Gauging of Topological Phases

Maissam Barkeshli, Parsa Bonderson+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2014

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用 90

一句话总结

本文提出一个全面的框架，用于分类2+1D拓扑物相中的对称性分数化和缺陷，引入了拓扑对称群和$G$-交叉辫子张量范畴$\mathcal{C}_G^\times$，以描述对称性丰富化的拓扑物相。该研究建立了全局对称性与规范对称之间的对偶性，表明在规范化后，外源缺陷会变成禁闭消失的任意子，从而形成新的拓扑物相$\mathcal{C}/G$。主要贡献在于建立了一个统一的代数理论，用于分类阿贝尔与非阿贝尔物相中任意对称群（包括任意子和反幺正对称）的缺陷、融合规则、辫子统计及模数据。

ABSTRACT

We examine the interplay of symmetry and topological order in $2+1$ dimensional topological phases of matter. We present a definition of the topological symmetry group, which characterizes the symmetry of the emergent topological quantum numbers of a topological phase $\mathcal{C}$, and we describe its relation with the microscopic symmetry of the underlying physical system. We derive a general framework to classify symmetry fractionalization in topological phases, including phases that are non-Abelian and symmetries that permute the quasiparticle types and/or are anti-unitary. We develop a theory of extrinsic defects (fluxes) associated with elements of the symmetry group, which provides a general classification of symmetry-enriched topological phases derived from a topological phase of matter $\mathcal{C}$ with symmetry group $G$. The algebraic theory of the defects, known as a $G$-crossed braided tensor category $\mathcal{C}_{G}^{ imes}$, allows one to compute many properties, such as the number of topologically distinct types of defects associated with each group element, their fusion rules, quantum dimensions, zero modes, braiding exchange transformations, a generalized Verlinde formula for the defects, and modular transformations of the $G$-crossed extensions of topological phases. We also examine the promotion of the global symmetry to a local gauge invariance, wherein the extrinsic $G$-defects are turned into deconfined quasiparticle excitations, which results in a different topological phase $\mathcal{C}/G$. A number of instructive and/or physically relevant examples are studied in detail.

研究动机与目标

• 定义并表征拓扑对称群，以捕捉物相$\mathcal{C}$中拓扑量子数的涌现对称性，且独立于微观细节。
• 发展对拓扑物相中对称性分数化的普遍分类方法，包括非阿贝尔任意子以及置换任意子类型或为反幺正的对称性。
• 构建与对称群$G$的群元素相关联的外源缺陷理论，实现对对称性丰富化拓扑物相的分类。
• 建立全局对称性与规范对称之间的对偶性，表明在规范化物相$\mathcal{C}/G$中，缺陷会变成禁闭消失的任意子。
• 通过$G$-交叉辫子张量范畴，提供一个系统性的代数框架，用于计算缺陷的融合规则、量子维数、辫子统计及模数据。

提出的方法

• 将拓扑对称群引入为对物相$\mathcal{C}$中拓扑量子数的涌现对称性的表征，其与微观对称性相区分。
• 构建$G$-交叉辫子张量范畴$\mathcal{C}_G^\times$，以代数方式描述与对称群$G$相关联的缺陷的完整结构，包括其融合与辫子性质。
• 利用$G$-交叉结构推导缺陷任意子的广义Verlinde公式，并计算其量子维数与拓扑自旋。
• 将该框架应用于计算拓扑物相的$G$-交叉扩展的模$S$与$T$矩阵，从而实现对任意子辫子与拓扑序的研究。
• 将规范化过程视为一种对偶性，表明外源$G$-缺陷在规范化后会转变成禁闭消失的任意子，形成新的拓扑物相$\mathcal{C}/G$。
• 将形式化方法应用于具体实例，包括非阿贝尔物相与反幺正对称，以展示其普遍性与预测能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在超越其微观实现的基础上，代数表征拓扑物相的涌现对称性？
• RQ2 在具有任意对称群的拓扑物相中，支配对称性缺陷融合与辫子的完整代数结构是什么？
• RQ3 全局对称性的规范化如何将外源缺陷转化为禁闭消失的任意子？规范化物相$\mathcal{C}/G$的拓扑序是什么？
• RQ4 $G$-交叉扩展的拓扑物相中缺陷任意子的广义Verlinde公式是什么？
• RQ5 反幺正对称与任意子置换对称如何影响对称性丰富化拓扑序的结构？

主要发现

• 拓扑对称群为拓扑量子数的涌现对称性提供了精确表征，且独立于微观哈密顿量。
• $G$-交叉辫子张量范畴$\mathcal{C}_G^\times$完全分类了对称性缺陷，包括其融合规则、量子维数与辫子统计。
• 与每个群元素相关联的拓扑上不同的缺陷类型数量由$\mathcal{C}_G^\times$的结构决定，可通过广义Verlinde公式明确计算。
• 全局$G$-对称性的规范化将外源缺陷转化为禁闭消失的任意子，形成新的拓扑物相$\mathcal{C}/G$，其拓扑序被改变。
• 可通过$\mathcal{C}_G^\times$代数计算$G$-交叉扩展的模$S$与$T$矩阵，从而实现对任意子辫子与拓扑不变量的研究。
• 该框架可统一应用于非阿贝尔物相及置换任意子类型或为反幺正的对称性，展现出广泛的普适性。