[论文解读] Symmetry exploitation for Online Machine Covering with Bounded Migration

Waldo Gálvez, José A. Soto+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Optimization and Search Problems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种利用对称性的新颖舍入技术，用于设计具有有界迁移率的机器覆盖问题的竞争性在线算法。通过精心管理基于几何舍入作业集结构特性的作业重新分配，该方法实现了 (4/3 + ε) 的竞争比，迁移率因子为 Õ(1/ε³)，显著优于先前的结果。

ABSTRACT

Online models that allow recourse are highly effective in situations where classical models are too pessimistic. One such problem is the online machine covering problem on identical machines. In this setting, jobs arrive one by one and must be assigned to machines with the objective of maximizing the minimum machine load. When a job arrives, we are allowed to reassign some jobs as long as their total size is (at most) proportional to the processing time of the arriving job. The proportionality constant is called the migration factor of the algorithm. Using a rounding procedure with useful structural properties for online packing and covering problems, we design first a simple $(1.7 + \varepsilon)$-competitive algorithm using a migration factor of $O(1/\varepsilon)$ which maintains at every arrival a locally optimal solution with respect to the Jump neighborhood. After that, we present as our main contribution a more involved $(4/3+\varepsilon)$-competitive algorithm using a migration factor of $ ilde{O}(1/\varepsilon^3)$. At every arrival, we run an adaptation of the Largest Processing Time first (LPT) algorithm. Since the new job can cause a complete change of the assignment of smaller jobs in both cases, a low migration factor is achieved by carefully exploiting the highly symmetric structure obtained by the rounding procedure.

研究动机与目标

• 弥合在线机器覆盖问题在有界迁移设置下，最佳已知竞争比与理论下限之间的差距。
• 设计一种迁移效率高的算法，在动态作业到达的情况下仍能保持高竞争力。
• 利用几何舍入作业实例中的结构对称性，以最小化重新分配成本。
• 在常数迁移因子下，超越此前最佳竞争比 2 的成果。

提出的方法

• 提出一种几何舍入过程，保留 [εOPT, OPT] 范围内作业处理时间的结构对称性。
• 在 Jump 邻域中使用局部最优解，以低迁移率维持竞争力。
• 在每次作业到达后应用改进的最长处理时间（LPT）规则，以高效重新分配作业。
• 采用多集合负载唯一性引理，确保不同作业组合的总负载互不相同，从而实现高效的状体追踪。
• 通过摊销分析和对称性，尽管存在潜在的大规模重新分配，仍能控制迁移成本。
• 通过仔细控制可迁移作业的数量（基于到达作业的大小），设计出 Õ(1/ε³) 的迁移因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界迁移因子下，是否可以实现低于 2 的竞争比？
• RQ2 如何利用舍入作业实例中的对称性以减少迁移成本？
• RQ3 在有界迁移模型中，是否可能实现 (4/3 + ε) 竞争比且迁移因子为次多项式？
• RQ4 作业集合的何种结构特性可实现低迁移率下的高效重新分配？
• RQ5 常数迁移因子下的下限 20/19 是否可被改进？若可，需满足何种条件？

主要发现

• 本文提出了一种 (4/3 + ε) 竞争比的算法，迁移因子为 Õ(1/ε³)，显著优于此前最佳竞争比 2 的结果。
• 该算法在每次作业到达时均保持在 Jump 邻域中的局部最优性，确保了高竞争力。
• 提出了一种新颖的几何舍入技术，确保总负载 ≤ OPT 的不同多集合作业具有不同的总和，从而实现高效的状体表示。
• 通过利用舍入作业集合中的对称性，该方法实现了低迁移率，防止了状态爆炸。
• 本文将常数迁移的下限从 20/19 提升至 17/16，证明了不存在 (17/16 − ε) 竞争比的常数迁移算法。
• 结果表明，常数迁移下无法实现 (1 + ε) 竞争比，但通过 Õ(1/ε³) 的迁移因子，可实现接近最优的 (4/3 + ε) 竞争比。