[论文解读] Symmetry Fractionalization in Three-Dimensional $\mathbb{Z}_2$ Topological Order and Fermionic Symmetry-Protected Phases

Meng Cheng|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Quasicrystal Structures and Properties被引用 9

一句话总结

该论文将任意子分数化推广至三维 $\frac{1}{2}$-拓扑序，聚焦于 $\frac{1}{2}$ 离散规范理论中的环激发。通过任意子与环激发上的对称性作用，提出了对对称性丰富化的 $\frac{1}{2}$ 拓扑相的分类，并将该框架应用于分类三维费米子对称性保护拓扑（fSPT）相，证明在 $\frac{1}{2}$-费米子宇称对称性下，三维非平凡 $\frac{1}{2}$ fSPT 相不存在，同时提出了一种 $\frac{1}{2}^2=1$ 时间反演不变 fSPT 相的构造方法。

ABSTRACT

In two-dimensional topological phases, quasiparticle excitations can carry fractional symmetry quantum numbers. We generalize this notion of symmetry fractionalization to three-dimensional topological phases, in particular to loop excitations, and propose a partial classification for symmetry-enriched $\mathbb{Z}_2$ toric code phase. We apply the results to the classification of fermionic symmetry-protected topological phases in three dimensions.

研究动机与目标

• 将二维中点状任意子的对称性分数化概念推广至三维拓扑相中的环状激发。
• 发展对三维中对称性丰富化的 $\tfrac{1}{2}$ 离散规范理论相的部分分类，同时考虑任意子与环激发。
• 将该框架应用于分类三维费米子对称性保护拓扑（fSPT）相，特别是针对 $\tfrac{1}{2}$-费米子宇称与时间反演对称性。
• 将 Gu-Wen 提出的 fSPT 相构造解释为在 $\tfrac{1}{2}$-费米子离散规范理论中通量环上的对称性分数化。
• 提供一个物理论证，证明当费米子在对称性下线性变换时，三维中不存在非平凡 $\tfrac{1}{2}$ fSPT 相，并为 $\tfrac{1}{2}^2=1$ 时间反演对称性提出一种可能的非平凡相。

提出的方法

• 通过在 $\tfrac{1}{2}$ 离散规范理论中对点状任意子（$e$）和环状激发（$m$）定义局域对称性作用，将二维对称性分数化形式化推广至三维。
• 利用威尔逊线与环算符在对称性下的变换性质，推导出一致性条件，从而导出对称性分数化数据的四阶上闭链条件。
• 从环与任意子算符上对称性操作的结合律出发，推导出 $\nu(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$ 类型的上闭链条件。
• 将该框架应用于 $\tfrac{1}{2}$-费米子离散规范理论（FTC），其中 $e$ 任意子为费米子，并识别出通量环上的对称性分数化对应于 Gu-Wen 构造。
• 利用四阶上闭链条件分析是否存在非平凡 fSPT 相，表明仅当对称群如 $\tfrac{1}{2}^2=1$ 时间反演对称性时，障碍项才消失。
• 通过在候选体相 SPT 态中规范费米子宇称，提出一种具有 $\tfrac{1}{2}^2=1$ 对称性的非平凡 fSPT 相的构造方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将对称性分数化从二维点状任意子推广至三维拓扑相中的环状激发？
• RQ2 在三维 $\tfrac{1}{2}$ 离散规范理论中，对任意子与环激发上的对称性分数化的一致性条件是什么？
• RQ3 Gu-Wen 提出的三维 fSPT 相构造能否被理解为在 $\tfrac{1}{2}$-费米子离散规范理论中通量环上的对称性分数化？
• RQ4 当费米子在阿贝尔对称群下线性变换时，是否存在非平凡的三维费米子 SPT 相？
• RQ5 四阶上闭链条件在分类对称性丰富化的 $\tfrac{1}{2}$ 拓扑序中的作用是什么，其与 fSPT 相的关系如何？

主要发现

• 该论文推导出三维 $\frac{1}{2}$ 拓扑序中对称性分数化数据的四阶上闭链条件，将二维框架推广至包含环激发。
• 证明了 Gu-Wen 提出的三维 fSPT 相构造对应于 $\frac{1}{2}$-费米子离散规范理论中通量环上的对称性分数化，提供了物理解释。
• 分析表明，当费米子在对称性下线性变换时，三维中不存在非平凡 $\frac{1}{2}$ fSPT 相，原因在于此时四阶上闭链障碍项为平凡。
• 针对 $\frac{1}{2}^2=1$ 时间反演对称性，提出了一种可能的非平凡 fSPT 相，此时障碍项非平凡，可通过规范化实现。
• 该框架通过扩展二维基于任意子的形式化，为包含任意子与环激发的三维对称性丰富化 $\frac{1}{2}$ 离散规范理论相提供了自洽的分类。
• 该工作建立了三维表面对称性分数化类与体相 SPT 相之间的直接联系，将二维表面-体相对应关系推广至三维环激发。