[论文解读] Symmetry Groups and Equivalence Transformations in the Nonlinear Donnell-Mushtari-Vlasov Theory for Shallow Shells

Vassil M. Vassilev|ArXiv.org|Jun 8, 2000

Composite Structure Analysis and Optimization参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过李群分析，确立了非线性Donnell-Mushtari-Vlasov理论下浅壳大挠度控制方程——Marguerre方程——的点对称群。研究表明，Marguerre方程在时不变与时变情况下均等价于板的von Kármán方程，从而可直接将现有板的解迁移应用于浅壳问题。

ABSTRACT

In the case of transversely only loaded shallow shells, the nonlinear Donnell-Mushtari-Vlasov theory for large deflection of isotropic thin elastic shells leads to a system of two coupled nonlinear forth-order partial differential equations known as Marguerre's equations. This system involves two arbitrary elements -- the curvature tensor of the shell middle-surface and the function of transversal load per unit surface area. In the present note, the point symmetry groups of Marguerre's equations are established, the corresponding group classification problem being solved. It is shown that Marguerre's equations are equivalent to the von Karman equations for large deflection of plates in the time-independent case and in the time-dependent case as well. It is also observed that the same holds true in respect of the field equations for anisotropic shallow shells.

研究动机与目标

• 对非线性Donnell-Mushtari-Vlasov理论下浅壳的Marguerre方程的点对称群进行分类。
• 确定系统在局部单参数点变换李群作用下的不变性条件。
• 建立浅壳Marguerre方程与板的von Kármán方程之间的等价性。
• 将等价性推广至时变与各向异性浅壳系统。
• 证明对称性分类依赖于壳体中面曲率的不变量与载荷分布。

提出的方法

• 应用李无穷小技术，分析Marguerre系统在R⁴（x¹, x², w, Φ）中局部点变换下的不变性。
• 通过向量场的延拓及对称生成元的确定方程，推导系统的不变性条件。
• 识别等价变换，包括平移变换（x¹,x²,w,Φ） ↦ （x¹,x²,w+f,Φ），该变换保持微分结构不变。
• 利用该变换证明Marguerre方程等价于右端项经修正的非齐次von Kármán方程。
• 通过引入惯性项（ρẅ）并将变换相应调整，将等价性推广至时变系统。
• 通过在方程中推广材料常数D^{αβμν}与E^{αβμν}，将方法拓展至各向异性浅壳。

实验结果

研究问题

• RQ1 浅壳Marguerre方程的完整点对称群是什么？
• RQ2 在何种条件下，Marguerre系统在相似变换或其他李群作用下保持不变？
• RQ3 Marguerre方程与板的von Kármán方程在多大程度上等价？
• RQ4 该等价变换在不同物理情形（时不变、时变、各向异性）下如何保持系统结构？
• RQ5 是否能用壳体中面的几何不变量来表达Marguerre方程的对称性分类？

主要发现

• Marguerre方程的对称群由壳体中面曲率的不变量H和K以及载荷函数p决定。
• 通过等价变换，Marguerre方程在时不变与时变情况下均等价于板的von Kármán方程。
• 即使在各向异性浅壳情况下，等价性依然成立，变换后的系统保持von Kármán结构，但源项被修正。
• 时变Marguerre系统通过同一变换映射为非齐次时变von Kármán系统。
• 变换（w ↦ w + f）是一种保持微分结构的等价变换，可实现解的传递。
• 结果提供了一套系统化方法，可仅作最小修改，将已知的von Kármán方程解应用于浅壳问题。