[论文解读] Symmetry in stationary and uniformly-rotating solutions of active scalar equations

Javier Gómez-Serrano, Jaemin Park+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 64被引用 19

一句话总结

该论文在锐利的角速度界条件下，建立了二维欧拉方程和广义表面准地转（gSQG）方程的静止解与均匀旋转解的径向对称性。通过变分法方法，证明了二维欧拉方程的光滑、紧支集、非负涡度解必为径向对称，且对于二维欧拉方程和gSQG方程的均匀旋转涡旋，当角速度 Ω ≤ 0 或 Ω ≥ 1/2（二维欧拉方程）或 Ω ≥ Ωₐ（gSQG方程）时，其解必为径向对称，且边界为最优值。

ABSTRACT

In this paper, we study the radial symmetry properties of stationary and uniformly-rotating solutions of the 2D Euler and gSQG equations, both in the smooth setting and the patch setting. For the 2D Euler equation, we show that any smooth stationary solution with compactly supported and nonnegative vorticity must be radial, without any assumptions on the connectedness of the support or the level sets. In the patch setting, for the 2D Euler equation we show that every uniformly-rotating patch $D$ with angular velocity $Ω\leq 0$ or $Ω\geq \frac{1}{2}$ must be radial, where both bounds are sharp. For the gSQG equation we obtain a similar symmetry result for $Ω\leq 0$ or $Ω\geq Ω_α$ (with the bounds being sharp), under the additional assumption that the patch is simply-connected. These results settle several open questions in [T. Hmidi, J. Evol. Equ., 15(4): 801-816, 2015] and [F. de la Hoz, Z. Hassainia, T. Hmidi, and J. Mateu, Anal. PDE, 9(7):1609-1670, 2016] on uniformly-rotating patches. Along the way, we close a question on overdetermined problems for the fractional Laplacian [R. Choksi, R. Neumayer, and I. Topaloglu, Arxiv preprint arXiv:1810.08304, 2018, Remark 1.4], which may be of independent interest. The main new ideas come from a calculus of variations point of view.

研究动机与目标

• 解决主动标量方程中均匀旋转涡旋径向对称性的开放问题。
• 建立角速度 Ω 的锐利边界，使得均匀旋转涡旋必须为径向对称。
• 解决分数阶拉普拉斯算子的过定问题，该问题可能具有独立兴趣。
• 在不假设支撑集连通性的前提下，为二维欧拉方程和gSQG方程中的光滑解与涡旋解提供对称性结果。

提出的方法

• 采用变分法框架，分析解的对称性质。
• 分析依赖于由毕奥-萨伐尔定律导出的积分方程：对于涡旋，有 $1_D * K_\alpha - \frac{\Omega}{2}|x|^2 \equiv C_i$ 在 $\partial D$ 上成立。
• 对于gSQG方程，该方法假设涡旋为单连通区域，并使用核 $K_\alpha(x) = -C_\alpha |x|^{-\alpha}$，其中 $\alpha \in (0,2)$。
• 证明利用了比较论证以及β函数和γ函数的性质，推导出 $\Omega$ 的锐利边界。
• 通过对矛盾和变分特征的分析建立对称性，避免对水平集连通性的假设。
• 分析还包括了旋转涡旋与圆盘之间对称差的定量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，二维欧拉方程或gSQG方程中的均匀旋转涡旋必须为径向对称？
• RQ2 是否存在角速度 Ω 的锐利阈值，使得在此阈值以上对称性必然成立？
• RQ3 能否在不假设支撑集连通性的前提下，证明光滑、紧支集、非负涡度解的径向对称性？
• RQ4 该涡旋解的对称性结果是否可推广至 $\alpha \in (0,2)$ 的gSQG方程？其锐利边界为何？
• RQ5 能否利用此框架解决分数阶拉普拉斯算子的过定问题？

主要发现

• 任何光滑、紧支集、非负涡度的二维欧拉方程解，无论其支撑集或水平集是否连通，都必为径向对称。
• 对于二维欧拉方程，所有角速度满足 $\Omega \leq 0$ 或 $\Omega \geq \frac{1}{2}$ 的均匀旋转涡旋都必须为径向对称，且两个边界均为最优值。
• 对于 $\alpha \in (0,1)$ 的gSQG方程，所有角速度满足 $\Omega \leq 0$ 或 $\Omega \geq \Omega_\alpha$ 的单连通均匀旋转涡旋都必须为径向对称，且 $\Omega_\alpha$ 为最优阈值。
• 该论文解决了Hmidi [48] 和 de la Hoz–Hassainia–Hmidi–Mateu [28] 关于均匀旋转涡旋的开放问题。
• 获得了定量估计：若面积为 $\pi$ 的单连通涡旋以 $\Omega \in (0, \Omega_\alpha)$ 旋转，则其与单位圆盘的对称差满足 $|D \triangle B| \leq 2\pi\left(\left(\frac{\Omega_\alpha}{\Omega}\right)^{2/\alpha} - 1\right)$。
• 该论文利用相同的变分框架，解决了[22, 注记1.4]中提出的分数阶拉普拉斯算子过定问题。