[论文解读] Symmetry in systems with gyroscopic forces

Mikhail P. Kharlamov|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2014

Dynamics and Control of Mechanical Systems被引用 8

一句话总结

本文将机械系统中循环积分的概念推广至具有陀螺力的系统，证明全局面积型积分存在的充要条件是1-形式 $\mathrm{i}_v\varkappa$ 是恰当的。关键结果确立了在定点转动的刚体运动中，能保持此类积分的最一般陀螺力形式——表示为 $\boldsymbol{\kappa} = F\boldsymbol{\alpha} + \mathrm{grad}\,f$。

ABSTRACT

We consider a generalization of the notion of a natural mechanical system to the case of additional forces of gyroscopic type. Such forces appear, for example, as a result of global reduction of a natural system with symmetry. We study symmetries in the systems with gyroscopic forces to find out when these systems admit a global analogue of a cyclic integral. The results are applied to the problem of the motion of a rigid body about a fixed point in potential and gyroscopic forces to find the most general form of such forces admitting the global area type integral.

研究动机与目标

• 将循环积分的概念从自然机械系统推广至具有陀螺力的系统。
• 确定此类系统在何种条件下存在形如 $G = \langle v, w \rangle + f \circ p_M$ 的全局首次积分。
• 表征在定轴转动的刚体动力学中，保持守恒面积型积分的最一般陀螺力形式。
• 将结果应用于具有势能和陀螺力的刚体问题，通过额外首次积分识别可积性条件。

提出的方法

• 将具有陀螺力的机械系统形式化为四元组 $(M, m, \Pi, \varkappa)$，其中 $m$ 为黎曼度量，$\Pi$ 为势能，$\varkappa$ 为表示陀螺力的闭2-形式。
• 定义总能量 $H = \frac{1}{2}\langle w, w \rangle + \Pi(p_M(w))$，并通过2-形式 $\sigma = d\theta + p_M^*\varkappa$ 在 $TM$ 上构造辛结构。
• 利用 $(TM, \sigma)$ 上的哈密顿向量场 $X$ 描述动力学，其中 $X$ 满足 $Tp_M \circ X = \mathrm{id}_{TM}$。
• 应用李群对称性理论：一参数群 $\Psi$ 在 $M$ 上作用，其生成元为 $v$，其在 $TM$ 上的提升为 $v_T$。
• 推导出函数 $\tilde{G}(w) = \langle v, w \rangle$ 的条件 $\frac{d\tilde{G}}{dt} = \mathrm{i}_v\varkappa$，表明其仅在 $\mathrm{i}_v\varkappa$ 为恰当时才守恒。
• 证明当且仅当 $\mathrm{i}_v\varkappa = -df$ 时，修正的首次积分 $G = \tilde{G} + f \circ p_M$ 守恒，从而导出关键条件 $\boldsymbol{\kappa} = F\boldsymbol{\alpha} + \mathrm{grad}\,f$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有陀螺力的机械系统会存在类似于自然系统中动量积分的全局首次积分？
• RQ2 此类积分的存在性如何通过陀螺力形式 $\varkappa$ 的几何性质表征？
• RQ3 在定轴转动的刚体运动中，保持面积型积分的最一般陀螺力形式是什么？
• RQ4 系统的对称性如何影响在势能与陀螺力作用下刚体动力学的可积性？
• RQ5 泊松括号与额外首次积分在该类系统李雅普诺夫可积性中起什么作用？

主要发现

• 形如 $G = \langle v, w \rangle + f \circ p_M$ 的全局首次积分存在的充要条件是1-形式 $\mathrm{i}_v\varkappa$ 为恰当形式。
• 函数 $f$ 由方程 $\mathrm{i}_v\varkappa = -df$ 确定，该方程确保了 $G$ 的守恒性。
• 对于定轴转动的刚体运动，面积积分存在的充要条件是陀螺力向量 $\boldsymbol{\kappa}$ 满足 $\boldsymbol{\kappa} = F\boldsymbol{\alpha} + \mathrm{grad}\,f$，其中 $F$ 和 $f$ 为欧拉角 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的函数。
• 面积积分的显式形式为 $G(Q, \boldsymbol{\omega}) = A_1\omega_1\alpha_1 + A_2\omega_2\alpha_2 + A_3\omega_3\alpha_3 + f(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$。
• 当 $\varkappa_i \equiv \text{const}$ 时，积分退化为经典形式 $G = (A_1\alpha_1 + \varkappa_1)\omega_1 + (A_2\alpha_2 + \varkappa_2)\omega_2 + (A_3\alpha_3 + \varkappa_3)\omega_3$。
• 当存在另一个首次积分 $K$ 与 $G$ 对易时，系统为李雅普诺夫可积，这恰好发生在 $K$ 关于对称群 $\Psi$ 的切映射保持不变时。