[论文解读] Symmetry invariance of conservation laws

Stephen C. Anco, A. H. Kara|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Nonlinear Waves and Solitons被引用 3

一句话总结

本文利用守恒律乘子法，推导了偏微分方程中守恒律的对称性不变条件。结果表明，Ibragimov 近期提出的守恒律公式与无穷小对称作用于乘子的标准形式等价，从而为守恒律及其相关量在对称作用下是否不变或齐次提供了简洁的判别准则。

ABSTRACT

Symmetry invariance of conservation laws of partial differential equations is developed and applied to several examples by using the general method of conservation law multipliers. As main results, simple conditions are given for characterizing when a conservation law and its associated conserved quantity are invariant (and, more generally, homogeneous) under the action of a symmetry. These results are used to show that a recent conservation law formula (due to Ibragimov) is equivalent to a standard formula for the action of an infinitesimal symmetry on a conservation law multiplier.

研究动机与目标

• 刻画偏微分方程中守恒律及其相关守恒量在对称作用下保持不变的条件。
• 利用守恒律乘子的一般方法，推导出守恒律对称性不变性与齐次性的简单显式条件。
• 阐明 Ibragimov 近期提出的守恒律公式与无穷小对称作用下乘子标准变换律之间的精确关系。
• 为系统识别在偏微分方程中保持守恒律的对称性提供一个统一框架。

提出的方法

• 采用守恒律乘子的一般方法，分析无穷小对称作用于守恒律乘子的行为。
• 通过考察乘子在对称作用下的变换，推导出守恒律在对称作用下不变（或齐次）的必要与充分条件。
• 利用无穷小对称作用于微分函数的标准公式，计算乘子的变化，从而确定守恒律的变化。
• 将该分析应用于多个实例，以说明条件并验证其与 Ibragimov 公式的等价性。
• 该框架依赖于对称代数的结构以及乘子在对称的延拓作用下的不变性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，偏微分方程的守恒律在对称作用下保持不变？
• RQ2 如何判断当偏微分方程经由对称变换后，其守恒量是否仍保持不变？
• RQ3 Ibragimov 的守恒律公式与乘子在对称作用下的标准变换律之间存在何种精确关系？
• RQ4 能否仅通过乘子在对称作用下的行为来表征守恒律的不变性？

主要发现

• 推导出简洁的代数条件，用以判断守恒律及其相关守恒量是否在偏微分方程的对称作用下保持不变。
• 本文确立了：当且仅当乘子在对称的延拓作用下不变时，守恒律在对称作用下保持不变。
• 研究结果表明，Ibragimov 近期提出的守恒律公式在数学上等价于无穷小对称作用于乘子的标准公式。
• 该框架可通过分析对称作用于乘子的行为，系统地识别出保持守恒律的对称性。