[论文解读] Symmetry of Arthur parameters under Aubert involution

Ban, Dubravka|ArXiv.org|Jan 20, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用 8

一句话总结

本文研究了在 $p$-进域 $F$ 上，对 $SO(2n+1,F)$ 的非温和服务表示，其 Arthur 参数在 Aubert 对合下的对称性。利用 Jiang-Soudry、Harris-Taylor 和 Henniart 的最新结果，通过显式计算 Langlands 数据和 $A$-参数，证明了：当且仅当参数的秩 $k$ 为奇数，且在 $α = \frac{1}{2}$ 或 $α = 0$ 处诱导表示 $i_{G,M}(\nu^\alpha\rho\otimes\sigma)$ 是不可约时，对称性（即在参数中交换两个 $SL(2,\mathbb{C})$ 因子）才成立；当 $k$ 为偶数或在 $α = 1$ 时，对称性失效，表明 Aubert 对合一般不保持 $A$-参数的对称性。

ABSTRACT

We consider a nontempered $A$-parameter $ψ$ of $SO(2n+1, F)$ of a certain type and the base point representation $π$ in the $A$-packet of $ψ$. Let $\hatπ$ be the Aubert involution of $π$. We compute explicitly the Langlands data of $\hatπ$ and the $A$-parameter $\hatψ$ of $\hatπ$. We investigate whether $ψ$ and $\hatψ$ are symmetric. Although symmetry holds for large classes of parameters, it does not hold in general.

研究动机与目标

• 研究 Aubert 对合是否保持 $SO(2n+1,F)$ 的非温和服务 $A$-包的 Arthur 参数对称性。
• 显式计算与特定 $A$-参数 $\psi$ 相关的基点表示 $\pi$ 的 Aubert 对偶 $\hat{\pi}$ 的 Langlands 数据和 $A$-参数。
• 确定 $\psi$ 与 $\hat{\psi}$ 对称的条件，即 $\hat{\psi}(w,x,y) = \psi(w,y,x)$，推广 Zelevinsky 对合的行为。
• 阐明在某些情况下对称性为何失效，特别是当 $k$ 为偶数或 $α = 1$ 时，并识别 Aubert 对合何时将基点映射为非基点。

提出的方法

• 利用 Langlands-Arthur 形式化方法，计算与 $A$-参数 $\psi$ 相关的基点表示 $\pi$ 的 Aubert 对偶 $\hat{\pi}$ 的 Langlands 数据。
• 应用 Jiang-Soudry 关于 $SO(2\ell+1,F)$ 的一般表示 $L$-参数及诱导表示结构的最新结果。
• 该方法依赖于分析 Jacquet 模块 $r_{M,G}(\pi)$ 和 $r_{M,G}(\hat{\pi})$，以确定诱导表示及其分量的结构。
• 通过 $m$ 的归纳法，证明 $\hat{\pi}$ 的递归结构，以标准模 $L_s(\delta[\nu^{-m}\rho,\nu^{-m+1}\rho], \dots, \tau)$ 表示。
• 比较 $\pi$ 与 $\hat{\pi}$ 的 $L$-参数，以判断 $\hat{\psi}$ 是否匹配对称形式 $\phi \otimes S_2 \otimes S_k \oplus \bigoplus \phi_i \otimes S_1 \otimes S_1$。
• 根据诱导表示 $i_{G,M}(\nu^\alpha\rho \otimes \sigma)$ 的可约性点 $α$ 区分情形，特别是 $α = \frac{1}{2}, 0, 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Aubert 对合是否保持 $SO(2n+1,F)$ 的非温和服务表示的 $A$-参数对称性，即是否成立 $\hat{\psi}(w,x,y) = \psi(w,y,x)$？
• RQ2 在参数 $\psi = \phi \otimes S_k \otimes S_2 \oplus \bigoplus \phi_i \otimes S_1 \otimes S_1$ 下，$\psi$ 与 $\hat{\psi}$ 的对称性在何种条件下失效？
• RQ3 诱导表示 $i_{G,M}(\nu^\alpha\rho \otimes \sigma)$ 的可约性点 $α$ 如何影响 Aubert 对合下 $A$-参数的对称性？
• RQ4 Aubert 对合的基点表示是否总是基点？如果不是，其失效条件是什么？
• RQ5 Aubert 对偶 $\hat{\pi}$ 的精确 $L$-参数是什么？它与 Zelevinsky 对合所预期的对称形式有何不同？

主要发现

• 当 $α = \frac{1}{2}$ 时，若 $k$ 为奇数，则对称性成立，得到 $\hat{\psi} = \phi \otimes S_2 \otimes S_k \oplus \bigoplus \phi_i \otimes S_1 \otimes S_1$；若 $k$ 为偶数，则对称性失效，得到 $\hat{\psi} = \phi \otimes S_1 \otimes S_{k+1} \oplus \phi \otimes S_1 \otimes S_{k-1} \oplus \bigoplus \phi_i \otimes S_1 \otimes S_1$。
• 当 $α = 0$ 时，若 $k$ 为奇数，则对称性成立；若 $k$ 为偶数，则对称性失效，其参数结构与 $α = \frac{1}{2}$ 情况相同。
• 当 $α = 1$ 时，无论 $k$ 的奇偶性如何，对称性均失效，且 $\hat{\pi}$ 的 $L$-参数不具对称形式，表明预期的对合行为发生崩溃。
• 当 $k = 2$ 时，Aubert 对合将基点 $\pi$ 映射为一个温和服务但非一般表示 $\tau$，该表示不是基点，表明对合不保持基点性质。
• $\u03b1 = 1$ 情况下 $\hat{\pi}$ 的 $L$-参数为 $\hat{\varphi} = \bigoplus_{j=\frac{3}{2}}^{m+\frac{1}{2}} (|\cdot|^j\phi \otimes S_2 \oplus |\cdot|^{-j}\phi \otimes S_2) \oplus \phi \otimes S_3 \oplus \phi \otimes S_1 \oplus \bigoplus \phi_i \otimes S_1$，缺少 $j = \frac{1}{2}$ 项，因此不对称。
• 当 $k=2$ 时，Aubert 对偶 $\hat{\pi}$ 的 $A$-参数 $\psi'$ 为 $\phi \otimes S_3 \otimes S_1 \oplus \phi \otimes S_1 \otimes S_1 \oplus \bigoplus \phi_i \otimes S_1 \otimes S_1$，其对偶 $\hat{\psi}'$ 为 $\phi \otimes S_1 \otimes S_3 \oplus \phi \otimes S_1 \otimes S_1 \oplus \bigoplus \phi_i \otimes S_1 \otimes S_1$，表明 $\psi'$ 与 $\hat{\psi}'$ 对称，即使 $\psi$ 与 $\hat{\psi}$ 不对称。