[论文解读] Symmetry of models versus models of symmetry

Gert de Cooman, Enrique Miranda|ArXiv.org|Jan 13, 2008

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 24被引用 23

一句话总结

本文区分了信念模型中的两种对称性：弱不变性（信念的对称性，即模型在变换下保持不变）与强不变性（对称性的信念，即信念明确表示某一现象具有对称性）。通过使用不精确概率模型（一致下偏期望），作者证明了这两种概念可以被形式化地分离——从而解决了贝叶斯模型中将无知等同于无差别性的基础性缺陷。其核心贡献是一个能够在不强制无差别性的情况下捕捉完全无知下的犹豫不决的框架，避免了拉普拉斯的缺乏理由原则。

ABSTRACT

A model for a subject's beliefs about a phenomenon may exhibit symmetry, in the sense that it is invariant under certain transformations. On the other hand, such a belief model may be intended to represent that the subject believes or knows that the phenomenon under study exhibits symmetry. We defend the view that these are fundamentally different things, even though the difference cannot be captured by Bayesian belief models. In fact, the failure to distinguish between both situations leads to Laplace's so-called Principle of Insufficient Reason, which has been criticised extensively in the literature. We show that there are belief models (imprecise probability models, coherent lower previsions) that generalise and include the Bayesian belief models, but where this fundamental difference can be captured. This leads to two notions of symmetry for such belief models: weak invariance (representing symmetry of beliefs) and strong invariance (modelling beliefs of symmetry). We discuss various mathematical as well as more philosophical aspects of these notions. We also discuss a few examples to show the relevance of our findings both to probabilistic modelling and to statistical inference, and to the notion of exchangeability in particular.

研究动机与目标

• 澄清信念模型中对称性（弱不变性）与对现象对称性的信念（强不变性）之间的概念差异。
• 证明贝叶斯模型无法捕捉完全无知下的犹豫不决，从而强制将犹豫不决与无差别性等同，这是不合理的。
• 利用一致下偏期望构建一个正式框架，能够独立表示这两种对称性。
• 表明空泛信念模型在所有变换下都是弱不变的，可作为完全无知的忠实表示。
• 解决精确概率模型在处理对称性（特别是在无限域中）时的局限性，并为统计推断提供更稳健的基础。

提出的方法

• 作者使用一致下偏期望作为贝叶斯概率模型的推广，以表示不精确的信念。
• 他们将弱不变性定义为下偏期望在变换群或幺半群作用下的不变性，以确保信念的对称性。
• 他们将强不变性定义为：当下偏期望在反映主体对现象对称性信念的变换下保持不变时，即为强不变性。
• 他们引入自然扩张的概念，以构造满足强不变性约束的最小一致下偏期望。
• 他们分析了这些模型在更新过程中的行为，表明空泛模型在条件化后仍保持空泛，从而保持了犹豫不决的特性。
• 他们使用巴拿赫极限和幺半群的结构分析，探讨了在无限集合上强不变下偏期望的存在性与局限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 信念模型能否区分模型中的对称性（弱不变性）与对现象对称性的信念（强不变性）？
• RQ2 为何贝叶斯模型无法表示完全无知下的犹豫不决？将之与无差别性混淆会产生何种后果？
• RQ3 在何种条件下，强不变性会导致确定损失，特别是在自然数等无限域中？
• RQ4 能否构建在代表结构对称性的变换下保持不变的一致下偏期望，即使精确概率模型无法做到？
• RQ5 是否存在强不变性的弱化版本，可在避免确定损失的同时保持基于对称性的推理的合理性？

主要发现

• 空泛信念模型在任何变换下都是弱不变的，因此是表示完全无知的自然候选。
• 在自然数集上，若在完整的置换群作用下强制施加强不变性，将导致确定损失，因此不可行。
• 对于平移（位移）幺半群，强不变性是可能的，但在更新后仍可能导致确定损失，表明其行为上存在局限性。
• 强不变下偏期望的自然扩张可能不具一致性，表明强不变性并不总与一致性兼容。
• 不精确概率模型允许将犹豫不决独立于无差别性进行表示，从而避免了拉普拉斯缺乏理由原则的核心缺陷。
• 弱不变性与强不变性的区分，为建模证据的对称性与对称性的证据提供了正式基础，解决了统计推断中长期存在的问题。