[论文解读] Symmetry-protected topological order in SU(N) Heisenberg magnets --quantum entanglement and non-local order parameters

K. Tanimoto, K. Totsuka|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2015

Quantum many-body systems被引用 7

一句话总结

本文研究了一维 SU(N) Heisenberg 自旋链中的对称性保护拓扑（SPT）序，通过纠缠谱分析表明，SU(4) 模型的基态表现出由 SU(4) 对称性保护的拓扑序。此外，本文引入了非局域弦序参数作为探测工具，并表明即使 SU(N) 对称性被降低为 Z_N × Z_N，拓扑相依然存在，纠缠谱中的简并模式是诊断拓扑不变量的关键指标。

ABSTRACT

In this paper, we investigate topological properties of the ground state of the SU(N) Heisenberg chain, which is argued to be relevant to the Mott-insulating phase of alkaline-earth cold fermions in a one-dimensional optical lattice. By calculating the entanglement spectrum, we show that the ground state is in one of the topological phases protected by SU(N) symmetry. We then discuss an alternative characterization of it with non-local string order parameters. We also consider how the reduction of the protecting symmetry affects the topological phase paying particular attention to the entanglement spectrum.

研究动机与目标

• 通过量子纠缠表征 SU(N) Heisenberg 链基态中的拓扑序，特别是针对 N=4 的情况。
• 建立纠缠谱与由 SU(N) 对称性保护的拓扑不变量之间的联系。
• 引入并验证非局域弦序参数作为 SU(N) 系统中探测 SPT 序的替代工具。
• 研究当 SU(N) 对称性被降低为子群 Z_N × Z_N 时，拓扑序的稳定性。
• 阐明纠缠谱结构在诊断强关联量子自旋链中拓扑相时的作用。

提出的方法

• 使用数值或解析方法计算 SU(4) Heisenberg 链基态的纠缠谱，以检测指示拓扑序的简并模式。
• 利用纠缠谱的简并结构推断由 SU(N) 对称性保护的非平凡拓扑不变量的存在。
• 基于广义 Schwinger 玻色子表示和 SU(N) 生成元，引入非局域弦序参数以探测 SPT 序。
• 分析弦序参数在 SU(N) 对称群作用下的变换性质及其在基态中的期望值。
• 通过在哈密顿量中加入扰动项 V_N = g_N ∑_i [(X̂_P(i))^N + (X̂_P†(i))^N]，研究 SU(N) 到 Z_N × Z_N 对称性降低的影响。
• 利用关系式 (U_P U_Q)^D_λ = exp(i 2π n_top / N) D_λ，推导在对称性降低下纠缠能级简并度 D_λ 的约束，表明当 N 与 n_top 互素时，D_λ 必须是 N 的倍数。

实验结果

研究问题

• RQ1 SU(4) Heisenberg 链基态是否表现出由 SU(4) 对称性保护的拓扑序，如其纠缠谱所示？
• RQ2 非局域弦序参数能否作为识别 SU(N) 自旋链中 SPT 相的可靠序参量？
• RQ3 SU(N) Heisenberg 模型的拓扑相在 SU(N) 对称性被降低为 Z_N × Z_N 时如何响应？
• RQ4 对称性降低对纠缠谱简并结构施加了何种约束？
• RQ5 当完整 SU(N) 对称性被破坏时，拓扑不变量 n_top 是否仍可通过纠缠谱检测到？

主要发现

• SU(4) Heisenberg 链基态的纠缠谱表现出与 SU(4) 对称性保护的非平凡拓扑相一致的简并模式。
• 对于 N=4，系统支持三种不同的拓扑相，分别由 n_top = 1, 2, 3 标记，其中类-1 和类-3 相表现出 N 重简并（D_λ ≡ 0 mod 4），而类-2 允许偶数 D_λ。
• 在 Z_4 × Z_4 对称性降低下，拓扑序依然保持鲁棒，纠缠谱中 N 重简并模式持续存在。
• 非局域弦序参数被证明能有效表征 SPT 序，为纠缠谱提供了一种替代探测手段。
• 纠缠能级的简并度 D_λ 受拓扑不变量 n_top 和对称性降低的约束，当 N 与 n_top 互素时，D_λ 必须是 N 的倍数。
• 保持 Z_N × Z_N 对称性的扰动（如 V_N）不会闭合体能隙，也不会破坏拓扑序，证实了该相在对称性破缺下的稳定性。