[论文解读] Symmetry protected topological orders and the cohomology class of their symmetry group

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Quantum many-body systems被引用 12

一句话总结

该论文提出，在d个空间维度中，具有规范对称性的相互作用任意子对称保护拓扑（SPT）相由群G在U_T(1)模上的Borel (1+d)阶群上同调类分类，记为H^{1+d}[G, U_T(1)]。该研究证明了不同的SPT相与该上同调群的元素一一对应，并进一步通过三元组(G_H, G_Ψ, H^{1+d}[G_Ψ, U_T(1)])将分类推广至包含对称性破缺的短程纠缠相，其中G_H为哈密顿量对称群，G_Ψ为基态对称群。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases are gapped short-range-entangled quantum phases with a symmetry G. They can all be smoothly connected to the same trivial product state if we break the symmetry. The Haldane phase of spin-1 chain is the first example of SPT phase which is protected by SO(3) spin rotation symmetry. The topological insulator is another exam- ple of SPT phase which is protected by U(1) and time reversal symmetries. It has been shown that free fermion SPT phases can be systematically described by the K-theory. In this paper, we show that interacting bosonic SPT phases can be systematically described by group cohomology theory: distinct d-dimensional bosonic SPT phases with on-site symmetry G (which may contain anti-unitary time reversal symmetry) can be labeled by the elements in H^{1+d}[G, U_T(1)] - the Borel (1 + d)-group-cohomology classes of G over the G-module U_T(1). The boundary excitations of the non-trivial SPT phases are gapless or degenerate. Even more generally, we find that the different bosonic symmetry breaking short-range-entangled phases are labeled by the following three mathematical objects: (G_H, G_{\Psi}, H^{1+d}[G_{\Psi}, U_T(1)], where G_H is the symmetry group of the Hamiltonian and G_{\Psi} the symmetry group of the ground states.

研究动机与目标

• 系统分类具有局域对称性G的相互作用任意子对称保护拓扑（SPT）相，包括具有反幺正时间反演对称性的相。
• 建立一个数学框架，统一自由费米子SPT相（此前由K-理论描述）与相互作用任意子SPT相。
• 将分类推广至包含对称性破缺的短程纠缠相，区分哈密顿量对称性与基态对称性。
• 通过群上同调解释非平凡SPT相中无能隙或简并边界模式的物理起源。

提出的方法

• 该论文使用群上同调理论对d维任意子SPT相进行分类，分类结果为H^{1+d}[G, U_T(1)]，其中G为局域对称群。
• 引入G-模U_T(1)，以同时描述幺正和反幺正对称性，包括时间反演对称性。
• 通过分析对称群G在系统希尔伯特空间上的项目表示，推导出该分类。
• 该理论区分了哈密顿量对称群G_H与基态对称群G_Ψ，从而实现对对称性破缺相的精细化分类。
• 该框架解释了为何非平凡SPT相会拥有无能隙或简并的边界模式，因为这些现象源于非平凡的上同调类。
• 该方法将早期关于自由费米子（K-理论）的结果推广至相互作用任意子系统，为SPT序提供统一描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在d个空间维度中系统分类具有局域对称性G的相互作用任意子SPT相？
• RQ2 群上同调，特别是H^{1+d}[G, U_T(1)]，在表征这些相的拓扑序中起什么作用？
• RQ3 反幺正对称性（如时间反演）如何影响SPT相的分类？
• RQ4 在短程纠缠相中，哈密顿量对称性（G_H）与基态对称性（G_Ψ）之间存在何种关系？
• RQ5 为何非平凡SPT相必然表现出无能隙或简并的边界激发？

主要发现

• 在d个空间维度中，相互作用任意子SPT相由群G在U_T(1)模上的Borel (1+d)阶群上同调类H^{1+d}[G, U_T(1)]分类，其中G为局域对称群。
• 该分类同时包含幺正与反幺正对称性，U_T(1)作为G-模，用于编码时间反演和U(1)对称性。
• 非平凡SPT相（由非平凡上同调类标记）必然具有无能隙或简并的边界模式。
• 该框架通过三元组(G_H, G_Ψ, H^{1+d}[G_Ψ, U_T(1)])推广至对称性破缺的短程纠缠相，明确区分了哈密顿量对称性与基态对称性。
• 该理论为SPT序提供了统一描述，其适用范围超越了此前由K-理论分类的自由费米子系统，扩展至强关联的任意子系统。
• 该理论表明，哈代相与拓扑绝缘体是此一般上同调分类的特例，其对称性（SO(3)与U(1)×Z_2^T）决定了其上同调类。