[论文解读] Symmetry Resolved Entanglement of Excited States in Quantum Field Theory I: Free Theories, Twist Fields and Qubits

Luca Capizzi, Olalla A. Castro-Alvaredo+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2022

Quantum many-body systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种适用于具有 U(1) 对称性的 1+1D 自由量子场论激发态的对称性分辨纠缠熵（SREE）的通用公式，利用扭场和矩阵元技术。结果表明，带电矩的比值——从而决定 SREE——普遍依赖于准粒子激发的数目、统计性质和对称性电荷，有限体积修正从 $(mL)^{-4}$ 阶开始，已在自由玻色子和自旋比特模型中得到验证。

ABSTRACT

The excess entanglement resulting from exciting a finite number of quasiparticles above the ground state of a free integrable quantum field theory has been investigated quite extensively in the literature. It has been found that it takes a very simple form, depending only on the number of excitations and their statistics. There is now mounting evidence that such formulae also apply to interacting and even higher-dimensional quantum theories. In this paper we study the entanglement content of such zero-density excited states focusing on the symmetry resolved entanglement, that is on 1+1D quantum field theories that possess an internal symmetry. The ratio of charged moments between the excited and grounds states, from which the symmetry resolved entanglement entropy can be obtained, takes a very simple and universal form, which in addition to the number and statistics of the excitations, now depends also on the symmetry charge. Using form factor techniques, we obtain both the ratio of moments and the symmetry resolved entanglement entropies in complex free theories which possess $U(1)$ symmetry. The same formulae are found for simple qubit states.

研究动机与目标

• 推导具有 U(1) 对称性的 1+1D 自由量子场论激发态的对称性分辨纠缠熵（SREE）的通用公式。
• 研究带电矩的比值——计算 SREE 的关键——如何依赖于准粒子激发的数目、统计性质和对称性电荷。
• 将激发态中过剩纠缠的理解从总纠缠扩展到对称性子空间的贡献。
• 利用矩阵元技术，在自由复玻色场论和简单自旋比特态中验证所推导的公式。
• 分析矩的比值的有限体积修正，表明其始于 $(mL)^{-4}$ 阶。

提出的方法

• 本研究采用分支点扭场及其关联函数来计算编码对称性分辨纠缠信息的带电矩 $ Z_n(\alpha) $。
• 利用矩阵元技术，计算自由理论中具有 U(1) 对称性的多体态之间扭场的矩阵元。
• 通过无限体积矩阵元推导矩的比值 $ \mathcal{Z}_n(q)/\mathcal{Z}_1^n(q) $，并对正负电荷粒子数目相等的多体态求和。
• 显式计算有限体积中扭场乘积 $ \langle 0 | \mathcal{T}^\alpha_n(0) \tilde{\mathcal{T}}^\alpha_n(\ell) | 0 \rangle $ 的真空期望值。
• 通过求解赝能动量的贝特方程并在 $ 1/(mL) $ 中展开，评估有限体积修正，发现首个非零修正出现在 $ \mathcal{O}((mL)^{-4}) $ 阶。
• 在自旋比特模型中交叉验证推导，确认 SREE 公式在具有相同对称性和激发结构的不同系统中具有普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 U(1) 对称性的 1+1D 自由量子场论激发态中，对称性分辨纠缠熵（SREE）如何依赖于准粒子激发的数目、统计性质及其对称性电荷？
• RQ2 带电矩 $ Z_n(\alpha) $ 的比值能否以仅依赖于激发数目、其统计性质和 U(1) 电荷的通用形式表达？
• RQ3 SREE 中矩的比值的有限体积修正具有何种结构，其首次出现的阶数为何？
• RQ4 在简单自旋比特态中，SREE 的同一通用公式是否与具有 U(1) 对称性的自由场论中一致？
• RQ5 为何 SREE 比值的前向有限体积修正在 $ \mathcal{O}((mL)^{-2}) $ 和 $ \mathcal{O}((mL)^{-3}) $ 阶消失，首个非零修正的起源是什么？

主要发现

• 在具有 U(1) 对称性的自由理论中，对称性分辨纠缠熵的带电矩比值普遍依赖于激发的数目、其统计性质和对称性电荷，与具体模型无关。
• 矩的比值的首个有限体积修正出现在 $ \mathcal{O}((mL)^{-4}) $ 阶，$ \mathcal{O}((mL)^{-2}) $ 和 $ \mathcal{O}((mL)^{-3}) $ 阶无修正，这是由于量子数求和中的发散项相互抵消所致。
• $ \mathcal{O}((mL)^{-2}) $ 和 $ \mathcal{O}((mL)^{-3}) $ 修正的缺失可归因于整数量子数 $ J_{i}^{\pm} $ 的求和收敛性，其在指数因子的周期性下消失。
• 所推导的 SREE 公式在自由复玻色场论和简单自旋比特态中均得到验证，表明其在不同物理实现中的普遍性。
• 无限体积中 $ 2s $-粒子态的矩阵元对 SREE 的贡献具有 $ (mL)^{-2s} $ 的标度，主导修正来自 $ s=2 $ 态。
• SREE 公式以带电矩的傅里叶变换形式表达，对称性分辨熵通过逆傅里叶变换获得，与 CFT 和格点结果一致。