[论文解读] Symmetry TFT for Subsystem Symmetry

Weiguang Cao, Qiang Jia|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2023

Mechanical and Optical Resonators被引用 5

一句话总结

该论文提出在 (3+1) 维中，基于 $N$ 级的 2-叶状 BF 理论作为 (2+1) 维子系统 $\rZ_N$ 对称性的对称性拓扑场理论 (SymTFT)。对于 $N=2$，通过子系统 $SL(2,\rZ_2)$ 对称性构建了一个对偶性网络，将 Kramers-Wannier 对偶性和 Jordan-Wigner 对偶性识别为边界变换，并利用 $S$-缺陷和扭缺陷推导出子系统非可逆算符的融合规则。

ABSTRACT

We generalize the idea of symmetry topological field theory (SymTFT) for subsystem symmetry. We propose the 2-foliated BF theory with level $N$ in $(3+1)$d as subsystem SymTFT for subsystem $\mathbb Z_N$ symmetry in $(2+1)$d. Focusing on $N=2$, we investigate various topological boundaries. The subsystem Kramers-Wannier and Jordan-Wigner dualities can be viewed as boundary transformations of the subsystem SymTFT and are included in a larger duality web from the subsystem $SL(2,\mathbb Z_2)$ symmetry of the bulk foliated BF theory. Finally, we construct the condensation defects and twist defects of $S$-transformation in the subsystem $SL(2,\mathbb Z_2)$, from which the fusion rule of subsystem non-invertible operators can be recovered.

研究动机与目标

• 将对称性拓扑场理论 (SymTFT) 推广至子系统对称性，即作用于刚性子流形而非整个时空的全局对称性。
• 建立一个 (3+1)D 拓扑场理论，以捕捉 (2+1)D 系统中子系统 $\rZ_N$ 对称性的普遍性质。
• 在由子系统 $SL(2,\rZ_2)$ 对称性生成的更大对偶性网络中，统一子系统对偶变换（如 Kramers-Wannier 和 Jordan-Wigner 对偶性）。
• 利用 SymTFT 框架中的凝聚与扭缺陷，推导子系统非可逆算符的融合规则。

提出的方法

• 在 (3+1)D 中构建一个具有 $N$ 级的 2-叶状 BF 理论，作为 (2+1)D 子系统 $\rZ_N$ 对称性的体态 SymTFT。
• 在 2-叶状 BF 理论中实现拓扑边界，以实现低维理论中的子系统对称性。
• 将体态叶状 BF 理论的子系统 $SL(2,\rZ_2)$ 对称性识别为统一各种对偶性的对偶性网络的起源。
• 在 SymTFT 中定义 $S$-缺陷和扭 $S$-缺陷，以描述 $S$-变换在对偶性网络上的作用。
• 利用缺陷划分函数和上同调方法，计算子系统非可逆算符的融合规则。
• 应用正则化技术与全息约束，提取 $\rZ_2$ 情况下的融合规则，包括模去规范冗余。

Figure 6: The duality web between four bosonic theories $\mathfrak{T}_{\textrm{sub}},\mathfrak{T}_{xy,\textrm{sub}},\hat{\mathfrak{T}}_{\textrm{sub}},\hat{\mathfrak{T}}_{xy,\textrm{sub}}$ and four fermionic theories $\mathfrak{T}_{F,x,\textrm{sub}},\mathfrak{T}_{F,y,\textrm{sub}},\hat{\mathfrak{T}}_

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将对称性拓扑场理论 (SymTFT) 推广以描述 (2+1)D 量子场论中的子系统对称性？
• RQ2 2-叶状 BF 理论在实现子系统 $\rZ_N$ 对称性作为拓扑边界条件方面起什么作用？
• RQ3 子系统 Kramers-Wannier 和 Jordan-Wigner 对偶性如何作为 SymTFT 框架中的边界变换出现？
• RQ4 由体态叶状 BF 理论中的子系统 $SL(2,\rZ_2)$ 对称性生成的对偶性网络具有何种结构？
• RQ5 如何从 SymTFT 中的缺陷构造推导出子系统非可逆算符的融合规则？

主要发现

• 在 (3+1)D 中具有 $N$ 级的 2-叶状 BF 理论可作为 (2+1)D 系统中子系统 $\rZ_N$ 对称性的通用 SymTFT。
• 对于 $N=2$，体态理论的子系统 $SL(2,\rZ_2)$ 对称性生成一个对偶性网络，将 Kramers-Wannier 和 Jordan-Wigner 对偶性统一为边界变换。
• 子系统非可逆算符的融合规则通过 $S$-缺陷和扭 $S$-缺陷构造推导得出，结果为 $\mathcal{N}^{\text{sub}\dagger} \times \mathcal{N}^{\text{sub}} = \sum_{w_{y,i+\frac{1}{2}}} \prod_{i=1}^{L_x} \left( \prod_{i' \leq i} U^{yz}_{0,i} \right)^{w_{y,i+\frac{1}{2}}}$。
• 融合规则的计算依赖于上同调数据 $H^0_{\text{sub}}(M_3^{[0,\epsilon]}, M_{2|0} \cup M_{2|\epsilon}, \mathbb{Z}_2)$，该数据为平凡，确保融合规则定义良好。
• 推导结果确认了对偶性网络的一致性，并表明子系统非可逆对称性自然源于体态中的 $S$-变换。
• $S$-缺陷构造使得能够从拓扑缺陷划分函数中恢复融合规则，从而在场论层面实现了对偶性结构的实现。