[论文解读] Symmetry within Solutions

Marijn J. H. Heule, Toby Walsh|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2010

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文引入了内部对称性这一概念——即约束满足问题中单个解内部固有的对称性，作为传统解对称性（在不同解之间映射）的补充。通过识别并利用对称性破除约束来强制执行内部对称性，作者显著缩小了搜索空间，实现了最先进的改进：将范德瓦尔登数的下界扩展了约10%，并首次发现了大小为24的双轮图的优美标号。

ABSTRACT

We define the concept of an internal symmetry. This is a symmety within a solution of a constraint satisfaction problem. We compare this to solution symmetry, which is a mapping between different solutions of the same problem. We argue that we may be able to exploit both types of symmetry when finding solutions. We illustrate the potential of exploiting internal symmetries on two benchmark domains: Van der Waerden numbers and graceful graphs. By identifying internal symmetries we are able to extend the state of the art in both cases.

研究动机与目标

• 提出并形式化约束满足问题中单个解内部的内部对称性概念。
• 证明尽管内部对称性远少于解对称性被研究，但其可被有效利用以缩小搜索空间。
• 表明结合内部对称性与解对称性可显著提升组合搜索的性能。
• 在两个基准领域中扩展最先进水平：范德瓦尔登数与优美图。

提出的方法

• 将内部对称性定义为满足 σ(A) = A 的对称性 σ，即解 A 在 σ 下保持不变。
• 利用对称性集合 Σ* 的闭包，从基集 B 和对称性 Σ 生成解中的所有赋值。
• 引入对称性破除约束以强制执行内部对称性，将搜索限制在对称解范围内。
• 将内部对称性约束与现有的解对称性破除技术结合，以缩小搜索空间。
• 在范德瓦尔登数问题中，利用内部对称性将下界提高了约10%。
• 在优美图问题中，强制执行内部对称性 σ₄ₙ（中心节点在0或4n处）和 σ₊₂（标签整体右移+2），成功发现 DW₂₄ 的优美标号。

实验结果

研究问题

• RQ1 内部对称性——即单个解内部固有的对称性——能否被正式定义，并与在不同解之间映射的解对称性区分开来？
• RQ2 如何检测并利用内部对称性以缩小约束满足问题中的搜索空间？
• RQ3 将内部对称性约束与现有解对称性破除技术结合，可实现多大程度的性能提升？
• RQ4 在范德瓦尔登数与优美图等组合搜索问题中，内部对称性能在多大程度上扩展最先进水平？

主要发现

• 作者发现，在880个4阶正常魔方中，有48个包含内部对称性 σ_inv ∘ σ_180，表明内部对称性并非普遍存在，而是依赖于具体解。
• 在范德瓦尔登数问题中，强制执行内部对称性使下界提高了约10%，扩展了已知范围。
• 在优美图领域，该方法首次实现了对双轮图 DW₂₄ 的优美标号发现，此前该结果未知。
• 当强制执行内部对称性 σ₄ₙ 和 σ₊₂ 时，计算 DW₂₄ 优美标号的耗时从超过7200秒降至602.09秒。
• 对于更大规模实例，性能提升最为显著：在 DW₂₀ 上，耗时从 >7200 秒降至117.08秒。
• 结果表明，当内部对称性与解对称性破除结合使用时，可在困难的组合搜索问题中实现显著的性能提升。