[论文解读] Symplectic Actions and Central Extensions

Andrew Beckett, José Figueroa-O’Farrill|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2022

Advanced Algebra and Geometry被引用 7

一句话总结

本文证明了任意连通单连通的辛齐性空间 $(M,\omega)$（关于连通李群 $G$）是 $G$ 的一个一维中心扩张的余伴轨的万有覆叠。它证明了李代数的 2-上循环的可积性等价于相应中心扩张从李代数到李群的可积性，通过辛上循环和矩映射将辛几何、李群上同调与几何量子化联系起来。

ABSTRACT

We give a proof of the fact that a simply-connected symplectic homogeneous space $(M,ω)$ of a connected Lie group $G$ is the universal cover of a coadjoint orbit of a one-dimensional central extension of $G$. We emphasise the rôle of symplectic group cocycles and the relationship between such cocycles, left-invariant presymplectic structures on $G$ and central extensions of $G$; in particular, we show that integrability of a central extension of $\mathfrak{g}$ to a central extension of $G$ is equivalent to integrability of a representative Chevalley-Eilenberg 2-cocycle of $\mathfrak{g}$ to a symplectic cocycle of $G$.

研究动机与目标

• 建立单连通辛齐性 $G$-空间与 $G$ 的一维中心扩张的余伴轨之间的精确对应关系。
• 阐明辛群上循环、$G$ 上的左不变预辛结构与 $G$ 的中心扩张之间的关系。
• 证明李代数的 Chevalley–Eilenberg 2-上循环向 $G$ 的辛上循环的可积性，等价于从 $\mathfrak{g}$ 到 $G$ 的相应中心扩张的可积性。
• 统一矩映射的几何概念与李群和李代数上同调中的代数结构。

提出的方法

• 利用矩映射构造，将 $M$ 上的辛 $G$-作用与 $\mathfrak{g}^*$ 中的余伴轨联系起来，尤其在 $M$ 单连通时。
• 将辛群上循环视为 $H^2(G;\mathbb{R})$ 的代表元，并通过群 1-上循环的微分，将其与 $G$ 上的左不变预辛形式联系起来。
• 通过证明辛上循环源于 $H^2(\mathfrak{g};\mathbb{R})$ 中的 Chevalley–Eilenberg 2-上循环的代表元，建立辛上循环与中心扩张之间的对应关系。
• 应用整体性原理，证明 $G$-不变的辛形式在余伴轨上可从 Kirillov–Kostant–Souriau 结构下降。
• 利用 $G$ 上的左不变 de Rham 复形，将 $\Omega^\bullet_{\text{LI}}(G)$ 与 Chevalley–Eilenberg 复形 $C^\bullet(\mathfrak{g})$ 识别，从而实现上同调比较。
• 证明几何平凡的中心扩张与 $H^2(G;\mathbb{R})$ 的元素之间存在双射，将群上同调与几何实现性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，单连通辛齐性 $G$-空间微分同胚于 $G$ 的中心扩张的余伴轨的万有覆叠？
• RQ2 辛群上循环与 $G$ 上的左不变预辛结构之间有何关系？
• RQ3 李代数 2-上循环向辛群上循环可积的精确上同调条件是什么？
• RQ4 从 $\mathfrak{g}$ 到 $G$ 的中心扩张的可积性与相应 Chevalley–Eilenberg 上循环的可积性有何关系？
• RQ5 每个在单连通流形上的辛 $G$-作用是否都能实现为某个中心扩张上的余伴作用？

主要发现

• 任意连通单连通的辛齐性空间 $(M,\omega)$（关于连通李群 $G$）微分同胚于 $G$ 的一个一维中心扩张的余伴轨的万有覆叠。
• $G$-不变辛形式存在于齐性空间 $M$ 上，意味着存在一个矩映射 $\mu: M \to \mathfrak{g}^*$，当 $M$ 单连通时，该映射是其像上的微分同胚，而该像是一个余伴轨。
• $G$ 上的辛上循环是群 1-上循环的导数，对应于 $H^2(G;\mathbb{R})$ 中类的一个代表元。
• $\mathfrak{g}$ 的中心扩张向 $G$ 的中心扩张的可积性，等价于 $\mathfrak{g}$ 的代表 Chevalley–Eilenberg 2-上循环向 $G$ 的辛上循环的可积性。
• $G$ 上的左不变 de Rham 复形同构于 $\mathfrak{g}$ 上的 Chevalley–Eilenberg 复形，因此当 $G$ 紧致时，有 $H^\bullet_{\text{dR}}(G) \cong H^\bullet(\mathfrak{g};\mathbb{R})$，从而实现上同调比较。
• 几何平凡的 $G$ 中心扩张与 $H^2(G;\mathbb{R})$ 之间存在双射，表明上同调类对这类扩张的等价类进行分类。