[论文解读] Symplectic and Isometric SL(2,R) invariant subbundles of the Hodge bundle

Artur Avila, Alex Eskin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 27

一句话总结

该论文证明，对于阿贝尔微分的某类stratum上霍奇丛的任意仿射不变子流形，Forni子空间——即柯特谢维奇-佐里奇cocycle在霍奇内积下作用为等距变换的子空间——在该子流形上局部常值，且在霍奇内积与交比形式下均与子流形的切空间正交。由此得出关键结论：此类子流形是辛的，且其上的霍奇丛是半单的。

ABSTRACT

Suppose N is an affine SL(2,R)-invariant submanfold of the moduli space of pairs (M,w) where M is a curve, and w is a holomorphic 1-form on M. We show that the Forni bundle of N (i.e. the maximal SL(2,R)-invariant isometric subbundle of the Hodge bundle of N) is always flat and is always orthogonal to the tangent space of N. As a corollary, it follows that the Hodge bundle of N is semisimple.

研究动机与目标

• 理解SL(2,R)-不变子丛在仿射不变子流形上的霍奇丛中的结构。
• 确立Forni子空间在仿射不变子流形上局部常值，且与子流形切空间正交。
• 证明仿射不变子流形的切丛在交比形式下是辛的。
• 证明任意仿射不变子流形上霍奇丛是半单的，即每个平坦子丛都有互补的平坦子丛。

提出的方法

• 使用周期坐标将仿射不变子流形建模为C^n中的仿射子空间。
• 将Forni子空间F(x)定义为在霍奇内积下，柯特谢维奇-佐里奇cocycle作用为等距变换的最大SL(2,R)-不变子空间。
• 应用高斯-明戈连接并分析单值性，证明F(x)在子流形上局部常值。
• 利用正交分解H^1(M,R) = F^⊥ ⊕ F，证明p(T_R(N))(x)在交比形式下为辛。
• 通过辛与正交分解技术构造互补的平坦子丛，利用[EMi]中的结果。
• 在局部模型中使用平方推进论证，若F(x)不被连接保持，则导出矛盾，从而证明其局部常值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Forni子空间在仿射不变子流形上是否局部常值？
• RQ2 仿射不变子流形的切空间在交比形式下是否为辛的？
• RQ3 仿射不变子流形上霍奇丛是否可分解为互补的平坦子丛？
• RQ4 Forni子空间能否被表征为在霍奇内积与交比形式下均与子流形切空间正交？
• RQ5 仿射测度在保证Forni子空间的正则性及切丛的辛结构中起什么作用？

主要发现

• Forni子空间F(x)在仿射不变子流形N上局部常值，因此构成霍奇丛的一个平坦子丛。
• 对ν-几乎处处x ∈ N，图像p(T_R(N))(x)在霍奇内积下与F(x)正交。
• 对ν-几乎处处x ∈ N，图像p(T_R(N))(x)在交比形式下与F(x)正交。
• 切空间p(T_R(N))在交比形式下非退化，因此N是辛的。
• 任意仿射不变子流形上霍奇丛是半单的，即每个平坦子丛都有互补的平坦子丛。
• 主要技术结果，定理7.2，表明对ν-几乎处处x，当y接近x时，差y - x属于F^⊥(x)，从而确认F(x)的局部常值性。