[论文解读] Symplectic and Poisson structures of certain moduli spaces

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Dec 14, 1993

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文通过引入一个具有哈密顿 $G$-作用的有限维辛流形 $$\mathcal{M}(\mathcal{P},G)$$，精炼了 A. Weinstein 关于曲面之上平 G-丛模空间的辛结构构造，其辛约化结果即为模空间 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$。关键贡献在于，该框架为扭模空间及标准模空间赋予了分层辛结构，并证明其分支具有有限辛体积，通过辛约化方法扩展了 Narasimhan-Seshadri 的结果。

ABSTRACT

Symplectic and Poisson structures of certain moduli spaces/Huebschmann,J./ Abstract: Let $π$ be the fundamental group of a closed surface and $G$ a Lie group with a biinvariant metric, not necessarily positive definite. It is shown that a certain construction due to A. Weinstein relying on techniques from equivariant cohomology may be refined so as to yield (i) a symplectic structure on a certain smooth manifold $\Cal M(\Cal P,G)$ containing the space $ oman{Hom}(π,G)$ of homomorphisms and, furthermore, (ii) a hamiltonian $G$-action on $\Cal M(\Cal P,G)$ preserving the symplectic structure, with momentum mapping $μ\colon \Cal M(\Cal P,G) o g^*$, in such a way that the reduced space equals the space $ oman{Rep}(π,G)$ of representations. Our approach is somewhat more general in that it also applies to twisted moduli spaces; in particular, it yields the {\smc Narasimhan-Seshadri} moduli spaces of semistable holomorphic vector bundles by {\it symplectic reduction in finite dimensions}.This implies that, when the group $G$ is compact, such a twisted moduli space inherits a structure of {\it stratified symplectic space}, and that the strata of these twisted moduli spaces have finite symplectic volume.

研究动机与目标

• 为曲面上平联络模空间提供一个有限维、辛几何的构造方法，扩展 Weinstein 的工作。
• 证明模空间 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$ 是一个具有哈密顿 $G$-作用的光滑有限维辛流形的辛约化结果。
• 确立扭模空间 $\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$ 继承分层辛结构，且当 $G$ 为紧致时其辛体积有限。
• 通过从等变德拉姆上同调与 Mauerer-Cartan 微分形式演算推导，阐明 Weinstein 构造中 2-形式的几何起源。
• 展示此处构造的动量映射使得凸性定理与上同调技术（如 Kirwan 与 Atiyah-Bott 的方法）可应用于这些模空间。

提出的方法

• 构造一个光滑辛流形 $\mathcal{M}(\mathcal{P},G)$，使其包含 $\mathrm{Hom}(\pi,G)$ 作为形变收缩核，并配备哈密顿 $G$-作用。
• 利用双微分复形 $(\Omega^{*,*}_G; d, \delta_G)$ 的等变德拉姆上同调，定义并分析 $G^{2\ell}$ 与单纯 $G$-流形 $NG$ 上的等变形式。
• 通过词映射 $r: G^{2\ell} \to G$ 定义动量映射 $\mu: \mathcal{M}(\mathcal{P},G) \to \mathfrak{g}^*$，当 $G$ 为紧致时该映射是 proper 的。
• 证明辛约化 $\mu^{-1}(0)/G$ 微分同胚于 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$，且辛结构通过等变上同调技术下移。
• 应用 [22] 中的分层辛空间理论，证明 $\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$ 通过动量映射的 proper 性，继承分层辛结构。
• 通过约化至酉群表示的局部模型并利用零水平集的紧致性，证明分支具有有限辛体积。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过有限维辛约化而非无限维规范场论，构造 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$ 上的辛结构？
• RQ2 Weinstein 构造中使用的 2-形式的几何起源为何？能否系统性地推导出它？
• RQ3 参数化于中心元素 $X$ 的扭模空间 $\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$ 是否也具有分层辛结构？
• RQ4 能否通过辛约化与局部模型分析，严格确立 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$ 中分支的有限辛体积？
• RQ5 通过所构造的动量映射，凸性定理与上同调方法（如 Kirwan 的方法）在多大程度上可应用于这些模空间？

主要发现

• 模空间 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$ 被实现为具有哈密顿 $G$-作用的有限维辛流形 $\mathcal{M}(\mathcal{P},G)$ 的辛约化结果，从而为辛结构提供了有限维实现。
• 当 $G$ 为紧致时，动量映射 $\mu: \mathcal{M}(\mathcal{P},G) \to \mathfrak{g}^*$ 是 proper 的，确保约化空间继承分层辛结构。
• 每个 $\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$ 的分支均具有有限辛体积，该结果通过约化至酉群表示的局部模型而确立。
• 该构造阐明了 [23] 中 2-形式 $\vartheta$ 的起源，其自然地源于等变上同调，而非被人为假设。
• 该框架适用于扭模空间，使得 Narasimhan-Seshadri 的半稳定全纯向量丛模空间可被表示为有限维辛流形的辛约化结果。
• 约化后的泊松代数是辛的，即其唯一的卡西米尔元为常数，这是分层辛结构的直接推论。