[论文解读] Symplectic automorphisms of CP^2 and the Thompson group T

Alexandr Usnich|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文構造了由 SL(2,Z) 和特定的辛自同構 P 在 CP² 上生成的群 H 的線性表示，表明 H 作用於一組曲面的射影系的 Picard 群的誘導極限。關鍵結果是類似於簇代數中映射類群作用的此表示實現，並以適合分段線性幾何的生成元與關係，提供了 Thompson 群 T 的新陳述。

ABSTRACT

We explain how to construct a morphism from the group of birational automorphisms of CP^2 preserving the logarithmic Poisson bracket to the Thompson group T. Than we give a linear representation of the former group, provide some information about Thompson group T and give it's new presentation in terms of generators and relations, and speculate about the presentation of the group of birational symplectomorphisms.

研究动机与目标

• 研究由 SL(2,Z) 和映射 P:(x,y)↦(y,(1+y)/x) 生成的 CP² 的辛自同構群 H。
• 構造 H 在一組曲面的射影系的 Picard 群的誘導極限上的線性表示。
• 透過 Thompson 群 T 建立 CP² 上辛幾何與分段線性結構之間的聯繫。
• 提供 Thompson 群 T 的新陳述，使用在分段線性幾何與辛自同構背景下自然的生成元與關係。

提出的方法

• 透過 tropicalization，定義從 CP² 的辛有理自同構群 Symp 到 Thompson 群 T 的同態，將有理映射映射至 Z² 上的分段線性變換。
• 使用形式 ω = d(log x) ∧ d(log y) 驗證 P 和 SL(2,Z) 保持辛結構。
• 構造幾何解釋：辛自同構置換以 Z² 中的本原向量參數化的極點曲線。
• 建立 T 的兩種陳述之間的群同構，使用生成元 R、C 和關係 R⁴ = 1, C³ = 1, (RC)⁵ = 1，以及交換關係。
• 引入新生成元 L = APA⁻¹，並以 L 和 C 陳述 T 的關係：L⁵ = 1, C³ = 1, (LCL)⁴ = 1, (CIL)⁷ = 1, 以及 [C, I²] = 1。
• 使用群同構與共軛關係，連結 T 的不同陳述，透過正規子群商證明其等價性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 SL(2,Z) 和映射 P 生成的群 H 如何作用於 CP² 的幾何結構？其作為辛自同構群的結構為何？
• RQ2 CP² 的辛有理自同構與透過 tropicalization 映射至 Z² 上的分段線性變換之間的關係為何？
• RQ3 是否能以自然兼容於由辛自同構產生的分段線性幾何的方式陳述 Thompson 群 T？
• RQ4 H 在 Picard 群誘導極限上的線性表示為何？其與簇代數結構的關係為何？
• RQ5 新陳述中涉及 L 和 C 的關係，如何反映其背後的辛與分段線性結構？

主要发现

• 群 H 由 SL(2,Z) 和映射 P 生成，其中 P⁵ = 1，且關係 C³ = I⁴ = [C, I²] = 1, PCP = I, 以及 P⁵ = 1 足夠定義 H。
• 透過 tropicalization，構造了從 Symp 到 Thompson 群 T 的同態，將有理映射映射至 Z² 上的分段線性自同構。
• Thompson 群 T 採用生成元 L 和 C 的新陳述，關係為 L⁵ = 1, C³ = 1, (LCL)⁴ = 1, (CIL)⁷ = 1, 以及 [C, I²] = 1。
• H 在一組曲面的射影系的 Picard 群誘導極限上的線性表示被實現，類似於簇代數中映射類群的作用。
• 此表示被證明同構於映射類群在具有相同種子與 Z² 參數化簇變數的簇代數上的已知作用。
• 新陳述的 T 被證明與標準陳述等價，同構關係透過群同構與生成元之間的共軛關係建立。