[论文解读] Symplectic Banach-Mazur distances between subsets of C^n

Michael Usher|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文在 $ℂ^n$ 中的开 Liouville 域上引入了粗略与精细的辛 Banach-Mazur 距离，通过过滤等变辛同调加以区分。研究表明，尽管序列可能在粗略距离下收敛于一个椭球，但在精细距离下却可能无限发散；并构造了任意有限维 $ℝ^D$ 到星形域空间的拟等距嵌入，揭示了辛容量之外丰富的几何复杂性。

ABSTRACT

Following proposals of Ostrover and Polterovich, we introduce and study "coarse" and "fine" versions of a symplectic Banach-Mazur distance on certain open subsets of $\mathbb{C}^n$ and other open Liouville domains. The coarse version declares two such domains to be close to each other if each domain admits a Liouville embedding into a slight dilate of the other; the fine version, which is similar to the distance on subsets of cotangent bundles of surfaces recently studied by Stojisavljević and Zhang, imposes an additional requirement on the images of these embeddings that is motivated by the definition of the classical Banach-Mazur distance on convex bodies. Our first main result is that the coarse and fine distances are quite different from each other, in that there are sequences that converge coarsely to an ellipsoid but diverge to infinity with respect to the fine distance. Our other main result is that, with respect to the fine distance, the space of star-shaped domains in $\mathbb{C}^n$ admits quasi-isometric embeddings of $\mathbb{R}^D$ for every finite dimension $D$. Our constructions are obtained from a general method of constructing $(2n+2)$-dimensional Liouville domains whose boundaries have Reeb dynamics determined by certain autonomous Hamiltonian flows on a given $2n$-dimensional Liouville domain. The bounds underlying our main results are proven using filtered equivariant symplectic homology via methods from prior joint work with Gutt.

研究动机与目标

• 在 $ℂ^n$ 中的开 Liouville 域上定义并研究粗略与精细的辛 Banach-Mazur 距离，将经典 Banach-Mazur 概念推广至辛几何。
• 研究粗略与精细距离在拓扑与几何上的差异，特别是序列收敛与发散行为。
• 通过辛拓扑中的高级工具，证明精细距离比粗略距离捕捉了显著更多的结构。
• 在精细距离下，构造欧氏空间 $ℝ^D$ 到星形域空间的拟等距嵌入，揭示高维复杂性。
• 通过引入过滤等变辛同调，拓展辛容量框架，以获得经典容量无法提供的更强障碍。

提出的方法

• 将开 Liouville 域定义为具有 Liouville 向量场的恰当辛流形，其负时间流将域收缩至紧致子集。
• 通过域的缩放之间存在 Liouville 嵌入来定义粗略辛 Banach-Mazur 距离。
• 通过在嵌入复合中加入相容性条件（受经典 Banach-Mazur 几何启发）来实现精细距离。
• 利用边界上的自治哈密顿流，从 $2n$ 维域构造出 $(2n+2)$ 维 Liouville 域，以控制 Reeb 动力学。
• 应用过滤等变辛同调来检测非平凡的持久性模，并推导精细距离的下界。
• 利用 Conley–Zehnder 指标与谱不变量分析闭 Reeb 轨道，并追踪不同尺度下同调秩的变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 粗略与精细辛 Banach-Mazur 距离在拓扑行为上如何不同，特别是在序列收敛与发散方面？
• RQ2 精细距离能否检测到辛容量或粗略距离无法捕捉的几何复杂性？
• RQ3 在精细距离下，$ℂ^n$ 中星形域空间在多大程度上能包含高维欧氏空间 $ℝ^D$ 的拟等距副本？
• RQ4 过滤等变辛同调在经典容量失效时，如何用于区分辛嵌入？
• RQ5 哈密顿流中无理参数如何影响 Reeb 轨道结构及相应的同调不变量？

主要发现

• 粗略与精细辛 Banach-Mazur 距离在拓扑上是不同的：序列可能在粗略距离下收敛于椭球，但在精细距离下却可无限发散。
• 对任意有限维 $D$，在精细距离下，$ℂ^n$ 中星形域空间可拟等距嵌入 $ℝ^D$，表明其具有高度内在的几何复杂性。
• 精细距离满足下界 $\delta_f((W_{H_{\vec{\zeta}}}^\circ,\hat{\lambda}),(W_{H_{\vec{\epsilon}}}^\circ,\hat{\lambda})) \geq \max_{1\leq m\leq D}\left(\min\left\{\frac{1}{\epsilon_{m}},\left(\frac{\zeta_{m}}{\epsilon_{m}}\right)^2\right\}\right)$，该下界由过滤等变辛同调中的谱不变量导出。
• 过滤等变辛同调检测到 Conley–Zehnder 指标模 2 同余于 $n$ 的非退化 Reeb 轨道，其在尺度间持久存在，为辛嵌入提供了强障碍。
• 当 $s<t<1$ 时，典范映射 $CH^{s}_{2-3n}(W_{H_{\vec{\epsilon}}}^\circ,\hat{\lambda})\to CH^{t}_{2-3n}(W_{H_{\vec{\epsilon}}}^\circ,\hat{\lambda})$ 是单射，该性质被用于推导主要下界。
• 当 $\epsilon_m$ 为无理数时，周期不超过 $b$ 的简单 Reeb 轨道中，Conley–Zehnder 指标为 $2-3n$ 的轨道数量恰好为 $m$，且随 $m$ 增加而增加，从而可对同调秩实现精确控制。