[论文解读] Symplectic bundles on the plane, secant varieties and Lüroth quartics revisited

Giorgio Ottaviani|ArXiv.org|Feb 6, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 23

一句话总结

本文建立了射影平面上的辛向量丛与塞格雷-韦罗内塞嵌入 $X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^{n-1}$ 搭配 $\mathcal{O}(1,2)$ 的高阶切触曲面之间的深刻联系，证明了 $(n+1)$-切触曲面 $\sigma_{n+1}(X)$ 是一个由斯特拉斯滕方程对称推广定义的超曲面。关键结果是当 $n=4$ 时，该超曲面参数化了吕罗思四次曲线，将切触曲面的几何与辛丛的巴尔特映射及布里尔-诺伊曼主丛联系起来。

ABSTRACT

Let $X={\bf P}^2 imes{\bf P}^{n-1}$ embedded with $Ø(1,2)$. We prove that its $(n+1)$-secant variety $σ_{n+1}(X)$ is a hypersurface, while it is expected that it fills the ambient space. The equation of $σ_{n+1}(X)$ is the symmetric analog of the Strassen equation. When $n=4$ the determinantal map takes $σ_5(X)$ to the hypersurface of Lüroth quartics, which is the image of the Barth map studied by LePotier and Tikhomirov. This hint allows to obtain some results on the jumping lines and the Brill-Noether loci of symplectic bundles on ${\bf P}^2$ by using the higher secant varieties of $X$.

研究动机与目标

• 探索塞格雷-韦罗内塞簇 $X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^{n-1}$ 搭配 $\mathcal{O}(1,2)$ 的高阶切触曲面与 $\mathbb{P}^2$ 上辛丛模空间之间的几何联系。
• 通过构造斯特拉斯滕方程的对称推广，证明当 $n \geq 4$ 且 $n$ 为偶数时，$(n+1)$-切触曲面 $\sigma_{n+1}(X)$ 是一个超曲面。
• 证明当 $n=4$ 时，超曲面 $\sigma_5(X)$ 参数化吕罗思四次曲线，从而通过切触曲面为吕罗思定理提供几何证明。
• 将辛丛的布里尔-诺伊曼主丛与 $\sigma_{n+(r/2)}(X)$ 的几何联系起来，特别是通过 $E(1)$ 的截面消失性。

提出的方法

• 定义通过 $\mathcal{O}(1,2)$ 嵌入的塞格雷-韦罗内塞簇 $X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^{n-1}$，并研究其高阶切触曲面 $\sigma_k(X)$。
• 引入对称收缩映射 $S_f: H^0(U \otimes S^2 V) \to \wedge^2 U \otimes W$，该映射将斯特拉斯滕映射推广至对称情形。
• 通过证明对称映射 $S_f$ 的行列式在 $\sigma_{n+1}(X)$ 上消失，从而证明 $\sigma_{n+1}(X)$ 是超曲面，得到对称斯特拉斯滕方程。
• 利用巴尔特正合列构造，将辛丛 $E \in M_{sp}(r,n)$ 实现为余上同调丛，将其跳跃直线与 $X$ 的切触曲面联系起来。
• 将 $E(1)$ 的截面存在性与映射 $H^0(f(1))$ 的秩联系起来，并使用特拉奇尼型论证估计核的余维数。
• 应用四重项引理，导出 $H^0(\Omega^1(3))$ 的 $SL(U)$-等变齐次序列，从而实现 $h^0(E(1))$ 的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何 $X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^3$ 搭配 $\mathcal{O}(1,2)$ 的 $5$-切触曲面形成一个超曲面，尽管其期望维数已填满环境空间？
• RQ2 对称斯特拉斯滕方程如何与巴尔特映射及 $\mathbb{P}^2$ 上辛丛的跳跃曲线相关联？
• RQ3 布里尔-诺伊曼主丛 $M_{sp}(r,n)^{k}$ 的几何意义在切触曲面的语境下是什么？
• RQ4 为何一般丛在 $M_{sp}(r,n)^{r/2}$ 中仅当 $r=2$ 时才源于 $\sigma_{n+(r/2)}(X)$？

主要发现

• $X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^{n-1}$ 搭配 $\mathcal{O}(1,2)$ 的 $(n+1)$-切触曲面 $\sigma_{n+1}(X)$ 在 $n \geq 4$ 且 $n$ 为偶数时是一个超曲面，其定义方程为对称斯特拉斯滕方程 $\det S_f = 0$。
• 当 $n=4$ 时，超曲面 $\sigma_5(X)$ 参数化吕罗思四次曲线，且该超曲面的方程是对称斯特拉斯滕方程的推广，与巴尔特映射的像完全一致。
• 一般 $E \in M_{sp}(2,4)$ 的跳跃曲线是一条吕罗思四次曲线，其方程可表示为 $\Delta(\sum_{i=1}^5 r_i h_i^2) = 0$，其中 $r_i$ 为直线，$h_i$ 为线性形式。
• 描述跳跃曲线的直线族 $r_1, \dots, r_k$ 的维数为 $\frac{n}{2} - 1$，当 $n=4$ 时该维数为 $1$，从而确认了吕罗思四次曲线的几何结构。
• 对于一般 $f \in \sigma_{n+(r/2)}(X)$，丛 $E(f)$ 满足 $h^0(E(1)) \geq r/2$，且该界仅在 $r=2$ 时取等，对应于赫尔斯贝根丛。
• 当 $r > 2$ 时，布里尔-诺伊曼主丛 $M_{sp}(r,n)^{r/2}$ 的切触空间维数超过 $\Delta(\sigma_{n+(r/2)}(X))$ 的维数，这意味着仅当 $r=2$ 时，此类丛才以这种方式源于切触曲面。