[论文解读] Symplectic cohomology and Viterbo's theorem

Mohammed Abouzaid|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 39

一句话总结

本文通过弗洛尔理论、行列式线丛和粘合构造等辛拓扑的高级技术，建立了余切丛 $T^*Q$ 的辛上同调与底流形 $Q$ 的环路上同调之间的深度同构关系。关键成果是证明了维特博猜想，即 $T^*Q$ 的辛上同调同构于 $Q$ 的自由环路空间的上同调，且该同构保持了 $BV$ 算子、乘积与单位等运算的显式兼容性。

ABSTRACT

This is a research monograph on symplectic cohomology (disguised as an advanced graduate textbook), which provides a construction of this version of Hamiltonian Floer cohomology for cotangent bundles of closed manifolds. The focus is on the aspects of the theory that have been neglected in the literature: (1) the base is not assumed to be orientable or Spin, (2) local systems on the free loop space are used to define twisted versions of Floer cohomology, (3) a (twisted) Batalin-Vilkovisky structure is constructed, and (4) the BV relation is verified. In this setting (i.e. with all the appropriate twists), a proof of Viterbo's theorem relating symplectic cohomology to the homology of the free loop space is provided, and we show that this map respects the BV structure. Viterbo's theorem is proved by constructing three different maps relating the two sides, and proving that two of the compositions are isomorphisms by using degenerations of moduli spaces of genus 0 Riemann surfaces with boundary. Two of the maps constructed are new, and use ideas inspired by a Lagrangian version of family Floer cohomology.

研究动机与目标

• 建立余切丛 $T^*Q$ 的辛上同调与底流形 $Q$ 的环路上同调之间的典范同构。
• 证明维特博猜想 $SH^*(T^*Q) \cong H_*(\Lambda Q)$，推广已知的在马斯洛夫类为零情况下的同构结果。
• 证明该同构保持完整的代数结构：$BV$ 算子、环路乘积与单位。
• 解决由带 punctured 的黎曼曲面上弗雷德霍姆算子粘合所引发的方向数据中的符号歧义。
• 通过拉格朗日子族与伪全纯曲线族，构造弗洛尔上同调与莫尔斯上同调之间的链上同伦等价。

提出的方法

• 通过边界位于零截面的全纯盘模空间，构造从 $Q$ 的莫尔斯上同调到 $T^*Q$ 的弗洛尔上同调的链映射。
• 利用带 punctured 的圆盘与环形区域上弗雷德霍姆算子的粘合理论，将线性化 $\overline{\partial}$-算子的行列式线丛与方向数据关联。
• 通过马斯洛夫指标与对偶性，定义拉格朗日子族路径的行列式线丛的典范平凡化，从而在粘合同构中实现符号比较。
• 通过连接与参数化，建立具有 $r$ 个负 puncture 的全纯盘与拉格朗日子族的环路之间的对应关系。
• 证明延续映射与粘合映射的复合在上同调上诱导出良定义的同构，通过验证其与 $BV$ 关系及乘积结构的相容性。
• 利用整体最大值原理与正则性结果，确保带边界条件的伪全纯曲线模空间的紧致性与横截性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $T^*Q$ 的辛上同调同构于自由环路空间 $\Lambda Q$ 的上同调？
• RQ2 环路上同调上的代数运算——$BV$ 算子、环路乘积与单位——如何与辛上同调上的对应运算对应？
• RQ3 由带 punctured 曲面上弗雷德霍姆算子粘合所生成的方向同构的正确符号约定是什么？
• RQ4 能否构造从 $Q$ 的莫尔斯上同调到 $T^*Q$ 的弗洛尔上同调的链映射，使其诱导出所需的同构？
• RQ5 所诱导的拉格朗日子族环路的马斯洛夫指标如何影响方向数据与同构的符号？

主要发现

• 辛上同调 $SH^*(T^*Q)$ 同构于环路上同调 $H_*(\Lambda Q)$，且该同构与 $BV$ 算子、乘积及单位兼容。
• 通过定义依赖于马斯洛夫指标 $\mu$ 与维数 $n$ 的符号不变量 $\textrm{?`}_r^n(\mu)$，解决了行列式线丛之间粘合同构的符号歧义，其值为 $1$ 或 $-1$，取决于拉格朗日子族环路的同伦类。
• 弗洛尔上同调与莫尔斯上同调之间的同构由全纯 $\overline{\partial}$-算子在带 punctured 的圆盘与环形区域上、边界位于零截面与余切纤维上的粘合所构造的链映射诱导。
• 辛上同调上的乘积结构对应于 $H_*(\Lambda Q)$ 上的环路乘积，$BV$ 算子对应于环路 $BV$ 算子，该对应关系通过与短裤模空间的相容性得到验证。
• 辛上同调中的单位在同构下对应于 $Q$ 的基本类，且该构造与包含映射及延续映射相容。
• 最终的同构与选择无关，因其在拉格朗日子族路径的同伦下不变，并通过利用对偶性与马斯洛夫指标条件的行列式线丛典范平凡化而保持不变。