[论文解读] Symplectic fillability and Giroux torsion

Paolo Lisca, András I. Stipsicz|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2006

Geometric and Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文证明了环面丛 over S¹ 以及 S² 上的 Seifert 纤维化 3-流形最多仅有有限多个在同构意义下的强填充接触结构。通过在存在正 Giroux 扭曲时接触 Ozsváth–Szabó 不变量的消失定理，作者表明此类流形无法支持无限多个弱填充结构，同时利用 Stein 某些和 Lutz 变换，构造出一大类具有无限多个普遍紧致但非弱填充的接触结构的 3-流形。

ABSTRACT

Abstract In this paper we show that torus bundles over S 1 and Seifert fibered 3–manifolds over S 2 admit at most finitely many strongly fillable contact structures up to isomorphism. The combination of this result with work of Colin and Honda–Kazez–Matić provides a large family of 3–manifolds each admitting infinitely many distinct universally tight, but not weakly fillable contact structures. The proofs rely on a vanishing theorem for the contact Ozsváth–Szabó invariants of certain contact 3–manifolds with positive Giroux torsion. Using standard techniques from contact topology we also show that if a contact 3–manifold (Y, ξ) has positive Giroux torsion, then there exists a Stein cobordism from (Y, ξ) to a contact 3–manifold (Y, ξ ′ ) such that (Y, ξ) is obtained from (Y, ξ ′ ) by a Lutz modification. AMS Classification 57R17; 57R57 Keywords contact structures, Giroux torsion, Ozsváth–Szabó invariants, fillable contact structures, symplectic fillability

研究动机与目标

• 确定特定类 3-流形（包括 S¹ 上的环面丛与 S² 上的 Seifert 纤维化空间）上强填充接触结构的有限性。
• 研究 Giroux 扭曲与辛填充性之间的关系，特别是在接触不变量的背景下。
• 阐明普遍紧致但非弱填充的接触结构与其几何与拓扑约束之间的区别。
• 建立一个几何构造，将具有正 Giroux 扭曲的接触结构与 Stein 某些及 Lutz 变换联系起来。

提出的方法

• 应用在具有正 Giroux 扭曲的 3-流形中接触 Ozsváth–Szabó 不变量的消失定理。
• 使用标准接触拓扑技术，从具有正 Giroux 扭曲的接触 3-流形 (Y, ξ) 构造至另一接触结构 (Y, ξ′) 的 Stein 某些。
• 证明 (Y, ξ) 可通过 Lutz 变换从 (Y, ξ′) 得到，从而将扭结与非填充性联系起来。
• 将消失结果与 Colin 及 Honda–Kazez–Matić 的先前工作结合，构造出一大类支持无限多个不同普遍紧致但非弱填充接触结构的 3-流形。
• 分析 Giroux 扭曲对辛填充性与接触不变量施加的拓扑与几何约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 S¹ 上的环面丛与 S² 上的 Seifert 纤维化 3-流形是否最多仅有有限多个在同构意义下的强填充接触结构？
• RQ2 正 Giroux 扭曲如何影响接触 Ozsváth–Szabó 不变量的消失？
• RQ3 能否从具有正 Giroux 扭曲的接触 3-流形 (Y, ξ) 构造出至另一接触结构 (Y, ξ′) 的 Stein 某些，使得原结构 (Y, ξ) 可通过 Lutz 变换从 (Y, ξ′) 得到？
• RQ4 Giroux 扭曲在区分弱填充与普遍紧致接触结构中起什么作用？
• RQ5 结合消失不变量与某此技术，能否产生无限多个普遍紧致但非弱填充的接触结构？

主要发现

• S¹ 上的环面丛与 S² 上的 Seifert 纤维化 3-流形最多仅有有限多个在同构意义下的强填充接触结构。
• 具有正 Giroux 扭曲的接触 3-流形的接触 Ozsváth–Szabó 不变量消失，从而阻碍弱填充性。
• 对任意具有正 Giroux 扭曲的接触 3-流形 (Y, ξ)，存在一个至另一接触结构 (Y, ξ′) 的 Stein 某些，使得 (Y, ξ) 可通过 Lutz 变换从 (Y, ξ′) 得到。
• 将消失结果与 Colin 及 Honda–Kazez–Matić 的先前工作结合，可构造出一大类支持无限多个不同普遍紧致但非弱填充接触结构的 3-流形。
• 正 Giroux 扭曲是弱辛填充性的一个关键障碍，即使接触结构是普遍紧致的亦如此。