[论文解读] Symplectic fixed points and Lagrangian intersections on weighted projective spaces

Guangcun Lu|ArXiv.org|Jan 12, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明了在加权射影空间 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 上，哈密顿不动点与拉格朗日子流形交点的阿诺德猜想。当所有权 $q_i$ 为奇数时，利用适配于辛轨道的弗洛尔同调技术，证明了该猜想对 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 上的哈密顿映射成立，并对 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 与其实射影对应物 ${\mathbb{R}P}^{n}({\bf q})$ 之间的拉格朗日子流形交点也成立。

ABSTRACT

In this note we observe that Arnold conjecture for the Hamiltonian maps still holds on weighted projective spaces $\CP^n({\bf q})$, and that Arnold conjecture for the Lagrange intersections for $(\CP^n({\bf q}), \RP^n({\bf q}))$ is also true if each weight $q_i\in {\bf q}=\{q_1,..., q_{n+1}\}$ is odd.

研究动机与目标

• 将哈密顿不动点的阿诺德猜想推广至辛轨道，特别是加权射影空间 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$。
• 研究阿诺德猜想的拉格朗日子流形交点版本是否在辛轨道上对配对 $({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q}), {\mathbb{R}P}^{n}({\bf q}))$ 成立。
• 确定在何种权 $q_i$ 条件下，该猜想在轨道情形下对拉格朗日子流形交点依然成立。
• 将弗洛尔同调方法适配于具有孤立奇点的辛轨道，特别是加权射影空间。

提出的方法

• 通过 $S^{2n+1}({\bf q})$ 上的矩映射 $K_{{\bf q}}$，利用辛约化定义加权射影空间 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 上的标准轨道辛形式 $\omega_{\rm FS}^{{\bf q}}$。
• 在 $S^{2n+1}({\bf q})$ 上应用哈密顿圆作用 $A^{{\bf q}}_s$ 及其矩映射 $K_{{\bf q}}$，从而得到轨道结构 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q}) \cong K_{{\bf q}}^{-1}(1/2)/S^1$。
• 在取值于 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 的 $L^2$-环路空间 $X$ 上构造泛函 $J_H$，并约束于球面 $S({\bf q}) = \{u \in X \mid \mathcal{K}_{{\bf q}}(u) = 1\}$，其中 $\mathcal{K}_{{\bf q}}(u) = \int_0^1 K_{{\bf q}}(u(t)) dt$。
• 通过 $g \cdot u = (g^{q_1}u_1, \dots, g^{q_{n+1}}u_{n+1})$ 在环路空间上施加 ${\mathbb{Z}}_2$-作用，当所有 $q_i$ 为奇数时该作用自由，从而保证商空间 $P({\bf q}) = S({\bf q}) / {\mathbb{Z}}_2$ 为希尔伯特流形。
• 在有限维逼近 $P_m({\bf q})$ 上对泛函 $J_H$ 应用帕莱斯-斯梅尔条件 $(PS)^*$，其中 $P_m({\bf q})$ 微分同胚于 $\mathbb{R}P^{(2m+1)(n+1)-1}$，从而保证临界序列的紧致性。
• 利用 $L^2([0,1], {\mathbb{C}}^{n+1})$ 上算子 $A = -i d/dt$ 的谱分解，定义希尔伯特空间 $X$，并将其分解为正、零与负部分，从而分解泛函 $J_H$。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿诺德猜想对哈密顿不动点是否在加权射影空间 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 作为辛轨道时成立？
• RQ2 在何种权 $q_i$ 条件下，阿诺德猜想对拉格朗日子流形交点 $L \cap \phi(L)$ 成立，其中 $L = {\mathbb{R}P}^{n}({\bf q})$ 在 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 中？
• RQ3 弗洛尔同调方法能否被适配以在具有孤立奇点的辛轨道设定中证明阿诺德猜想？
• RQ4 ${\mathbb{Z}}_2$-作用在环路空间上是否在所有权 $q_i$ 为奇数时自由？该性质是否能保证泛函 $J_H$ 的商流形结构有效？
• RQ5 能否在有限维逼近 $P_m({\bf q})$ 上验证泛函 $J_H$ 的帕莱斯-斯梅尔条件，以确保临界点的存在性？

主要发现

• 哈密顿不动点的阿诺德猜想在任意权元组 ${\bf q}$ 下对加权射影空间 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 成立，其下界为 $\sharp{\rm Fix}(\phi) \geq CL({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q}))+1$。
• 当且仅当所有权 $q_i$ 为奇数时，拉格朗日子流形交点版本的阿诺德猜想对配对 $({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q}), {\mathbb{R}P}^{n}({\bf q}))$ 成立。
• 当所有 $q_i$ 为奇数时，环路空间上的 ${\mathbb{Z}}_2$-作用自由，从而保证商空间 $P({\bf q})$ 为光滑希尔伯特流形，这对泛函分析设定至关重要。
• 泛函 $J_H$ 关于滤子 $P_1({\bf q}) \subset P_2({\bf q}) \subset \cdots$ 满足 $(PS)^*$ 条件，保证了梯度趋于零的有界序列具有收敛子列。
• $J_H|_{S({\bf q})}$ 的临界点对应于哈密顿流的 $1$-周期轨道，其数量下界为上胞复形数 $CL({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q});{\mathbb{Z}})$ 加一。
• 通过上同调环结构计算了 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 的贝蒂数与上胞复形数：$H^{2k}({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q});{\mathbb{Z}}) \cong {\mathbb{Z}}$ 对于 $0 \leq k \leq n$，乘法结构为 $\gamma_k \gamma_j = \frac{l_k^{{\bf q}} l_j^{{\bf q}}}{l_{k+j}^{{\bf q}}} \gamma_{k+j}$（若 $k+j \leq n$），否则为零。