[论文解读] Symplectic Forms on Moduli Spaces of Flat Connections on 2-manifolds

Lisa C. Jeffrey|ArXiv.org|Apr 28, 1994

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 21

一句话总结

本文利用群上同调与de Rham-bar双复形，在2-流形上的扭曲平坦联络模空间上构造了辛形式，扩展了Weinstein的框架。它提供了对扩展模空间上辛形式的显式群上同调构造，并计算了G作用下的矩映射，证明当G=SU(n)且β为中心生成元时，约化空间为光滑辛流形。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact connected semisimple Lie group. We extend the techniques of Weinstein [W] to give a construction in group cohomology of symplectic forms $ω$ on \lq twisted' moduli spaces of representations of the fundamental group $π$ of a 2-manifold $Σ$ (the smooth analogues of ${ m Hom} (π_1(Σ), G)/G$) and on relative character varieties of fundamental groups of 2-manifolds. We extend this construction to exhibit a symplectic form on the extended moduli space [J1] (a Hamiltonian $G$-space from which these moduli spaces may be obtained by symplectic reduction), and compute the moment map for the action of $G$ on the extended moduli space.

研究动机与目标

• 将Weinstein的群上同调构造辛形式的方法扩展至曲面群的扭曲模空间与相对特征簇。
• 通过扩展模空间X_β实现模空间的有限维辛实现，从而实现辛约化。
• 计算扩展模空间X_β上G作用的矩映射，并证明其与规范理论构造一致。
• 通过群上同调中的上积配对建立M_β上辛形式的非退化性。
• 为利用X_β的等变上同调计算H*(M_β)中的交配对奠定基础。

提出的方法

• 使用Eilenberg-Mac Lane群链与Fox微分，定义与曲面关系R相关的2-链c ∈ C₂(F)。
• 应用de Rham-bar双复形(C^{*,*}(G), δ, d)，其中δ来自群上同调，d为外导数。
• 利用Maurer-Cartan形式与Poincaré引理由的链同伦算子，在扩展模空间X_β上构造辛形式ω。
• 将商的切空间识别为上同调群H¹(F; g_h)，并利用上积配对验证非退化性。
• 通过holonomy建立规范理论的切空间H¹(Σ−D²; d_A)与群上同调H¹(F; g_h)之间的同构。
• 证明X_β上的辛形式与规范理论形式∫_Σ−D² α·∧β通过上积配对一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用群上同调在扭曲模空间M_β上构造辛形式？
• RQ2 G作用在扩展模空间X_β上的矩映射的显式形式是什么？
• RQ3 群上同调的上积如何与M_β上的辛形式相关联？
• RQ4 在何种条件下M_β为光滑辛流形？
• RQ5 X_β上的群上同调构造如何与平坦联络的规范理论描述相关联？

主要发现

• X_β上的辛形式ω通过Maurer-Cartan形式与链同伦算子显式构造，确保其闭合且非退化。
• G作用在X_β上的矩映射已计算，并证明其与规范理论矩映射在归一化意义下一致。
• 当G=SU(n)且β为Z(G)的生成元时，矩映射的值0为正则值，确保M_β为光滑辛流形。
• M_β上ω的非退化性源于上同调群H¹(F; g_h) × H¹(F, Z; g_h) → ℝ的上积配对的非退化性。
• X_β上的辛形式与规范理论形式∫_Σ−D² α·∧β一致，证实了不同描述间的自洽性。
• 该构造为H*(M_β)中的上同调类提供了显式的de Rham代表元，对计算[JK2]中的交配对至关重要。