[论文解读] Symplectic geometry and circuit quantization

Andrew Osborne, Trevyn F. Q. Larson+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2023

Quantum and electron transport phenomena参考文献 47被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种基于辛几何的哈密顿形式，用于对电磁电路进行量子化，无需依赖拉格朗日描述。通过利用图论结构和共轭正则变量，该方法能够一致地处理含有非线性或不可逆元件（如约瑟夫森结和量子相位跃迁）的电路，为此前难以处理的情形提供统一且算法化的解决方案。

ABSTRACT

Circuit quantization is an extraordinarily successful theory that describes the behavior of quantum circuits with high precision. The most widely used approach of circuit quantization relies on introducing a classical Lagrangian whose degrees of freedom are either magnetic fluxes or electric charges in the circuit. By combining nonlinear circuit elements (such as Josephson junctions or quantum phase slips), it is possible to build circuits where a standard Lagrangian description (and thus the standard quantization method) does not exist. Inspired by the mathematics of symplectic geometry and graph theory, we address this challenge, and present a Hamiltonian formulation of non-dissipative electrodynamic circuits. The resulting procedure for circuit quantization is independent of whether circuit elements are linear or nonlinear, or if the circuit is driven by external biases. We explain how to re-derive known results from our formalism, and provide an efficient algorithm for quantizing circuits, including those that cannot be quantized using existing methods.

研究动机与目标

• 解决标准电路量子化的基本局限性，即当电路包含约瑟夫森结和量子相位跃迁等非线性或不可逆元件时，该方法会失效。
• 开发一种不依赖全局拉格朗日量存在的哈密顿量子化方法，克服传统方法的限制。
• 为任意无耗散电磁电路（包括具有复杂拓扑结构或奇异行为的电路）提供系统化、算法化的量子化程序。
• 统一处理电路中的磁通和电荷自由度，特别是在标准共轭对因拓扑或非线性约束而失效的情况下。
• 从新形式中恢复已知结果（如 transmon、fluxonium），验证其一致性和普适性。

提出的方法

• 使用图论将电路形式化为有向图，通过定义节点、边和关联矩阵来表示电路的拓扑结构。
• 从配置空间的余切丛构造辛流形，利用由电路拓扑导出的共轭正则变量（磁通和电荷）。
• 应用辛几何在相空间上定义非退化的闭2-形式（即辛形式），确保哈密顿动力学的一致性。
• 利用商流形定理处理周期性变量（例如模通量子的磁通），即使在环面相空间上也能保持辛结构。
• 通过辛结构从能量函数推导哈密顿量，避免使用拉格朗日量或勒让德变换。
• 基于生成树实现一种算法程序，以识别独立的动力学变量和共轭动量，从而实现系统的量子化。

Figure 1: Examples of quantum circuits with Lagrangians using one or two types of generalized coordinates. (a) An inductor shunted by two capacitors: the Lagrangian of the circuit contains a single type of variable, the flux across the inductor, such that $L(\phi,\dot{\phi})$ . The charge-flux conju

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为因非线性或不可逆元件的存在而不存在全局拉格朗日量的电磁电路，构建一致的哈密顿形式？
• RQ2 如何结合辛几何与图论，在具有拓扑约束或周期性变量的电路中定义共轭正则变量？
• RQ3 诺特定质量在电路量子化中的作用是什么？在不损失物理一致性的情况下，何时可用来减少自由度？
• RQ4 所提出的形式如何从统一的几何视角恢复已知结果（如 transmon 或 fluxonium 量子比特哈密顿量）？
• RQ5 该方法能否推广至具有时变外部偏置、奇异元件或混合磁通-电荷非线性性的电路？

主要发现

• 该形式为含有约瑟夫森结和量子相位跃迁等非线性元件的电路提供了统一的哈密顿描述，而标准拉格朗日量子化在此类情况下会失效。
• 相空间上的辛结构直接由电路的拓扑结构和元件特性导出，确保即使在复杂构型下，共轭对易关系仍被保持。
• 通过商流形成功处理了周期性边界条件（如磁通量子化），在不依赖精确性的情况下保持了辛形式。
• 证明了电容分流岛的独立诺特定质量数为 |Γ_C| − 1，解决了因全局电荷守恒导致的过度计数问题。
• 该方法在具有两个电容和一个电感的三节点电路中，成功恢复了谐振子与自由粒子的耦合，与已知拉格朗日结果一致，验证了其一致性。
• 建立了一种高效算法，用于对任意电路进行量子化，基于生成树与辛约化，使此前难以处理的案例（如 dualmon 量子比特或奇异电路）得以应用。

Figure 2: Graph theory and quantum circuits. (a) An arbitrary circuit containing all four types of superconducting circuit elements: capacitors, inductors, Josephson junctions and quantum phase slips. The node fluxes are $\phi_{v_{i}}$ , while the branch charges across the capacitive elements are $q