[论文解读] Symplectic Harmonic theory and the Federer-Fleming deformation theorem

Yi Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文证明，在紧致辛流形上，每个正度数的原始上同调类均存在一个不支撑在整个流形上的辛调和代表元，其证明基于Federer-Fleming形变定理与法向电流的上同调理论。该结果解决了Guillemin关于对偶子流形的调和Thom形式支撑性的开放问题。

ABSTRACT

In this article, we initiate a geometric measure theoretic approach to symplectic Hodge theory. In particular, we apply one of the central results in geometric measure theory, the Federer-Fleming deformation theorem, together with the cohomology theory of normal cur- rents on a differential manifold, to establish a fundamental property on symplectic Harmonic forms. We show that on a closed symplectic manifold, every real primitive cohomology class of positive degrees admits a symplectic Harmonic representative not supported on the entire mani- fold. As an application, we use it to investigate the support of symplectic Harmonic representatives of Thom classes, and give a complete solution to an open question asked by Guillemin.

研究动机与目标

• 研究Thom类的辛调和代表元的支撑性质，特别是针对对偶子流形与共轭子流形的情况。
• 解决Victor Guillemin提出的关于对偶子流形Thom类的非全支撑调和代表元存在的开放问题。
• 利用Federer-Fleming形变定理，为辛Hodge理论建立几何测度论基础。
• 证明每个正度数的原始上同调类均可由不支撑在整个流形上的闭合原始De Rham电流表示。
• 通过电流理论方法，将辛调和理论与共轭子流形及原始上同调联系起来。

提出的方法

• 将Federer-Fleming形变定理应用于闭合法向电流，将其光滑化为闭合原始微分形式，同时保持上同调类与原始性。
• 利用微分流形上法向电流的上同调理论，分析代表原始上同调类的闭合电流的结构。
• 采用Bahramgiri的辛光滑化算子，从闭合原始电流构造闭合原始微分形式。
• 依赖于在Hard Lefschetz假设下已确立的辛$dd^\Lambda$-引理（由Merkulov与Guillemin建立），以关联上同调性质与调和性质。
• 利用Lefschetz分解及原始分量的唯一性，证明：若一个原始形式是$d$-恰当的，则其必为$dd^\Lambda$-恰当，且其势能为原始形式。
• 将问题归约为证明：每个原始上同调类均可提升为不支撑在整个流形上的闭合原始电流，利用形变定理对支撑的控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致辛流形上，每个正度数的原始上同调类是否都存在一个不支撑在整个流形上的辛调和代表元？
• RQ2 对偶子流形的Thom类是否可由一个非全支撑的辛调和形式表示？
• RQ3 是否存在某种弱意义下，每个原始上同调类均由一个共轭子流形表示？
• RQ4 Federer-Fleming形变定理如何促进辛Hodge理论中非全支撑调和代表元的构造？
• RQ5 在缺乏Hard Lefschetz性质的情况下，原始上同调与非全支撑调和形式的存在性之间有何关系？

主要发现

• 在紧致辛流形上，每个正度数的原始上同调类均存在一个不支撑在整个流形上的辛调和代表元。
• 该结果通过将Federer-Fleming形变定理应用于闭合原始电流而建立，从而得到同上同调类的光滑闭合原始形式。
• 该构造表明，每个原始上同调类均可由不支撑在整个流形上的闭合原始De Rham电流表示。
• 该结果解决了Guillemin的开放问题，证实了紧致定向共轭子流形的Thom类存在非全支撑的调和代表元。
• 在Hard Lefschetz条件下，本文建立了原始De Rham上同调$PH^r_d(M)$与标准原始上同调$PH^r(M)$之间的同构关系。
• 证明依赖于辛$dd^\Lambda$-引理及Lefschetz分解的唯一性，以证明：$d$-恰当的原始形式必为$dd^\Lambda$-恰当，且其势能为原始形式。