[论文解读] Symplectic integration with Jacobi polynomials

Wensheng Tang|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出使用雅可比多项式作为基函数的辛连续阶龙格-库塔方法，用于哈密顿系统。通过在连续阶框架内利用正交多项式展开，作者构建了高阶辛积分器，能够保持系统的几何结构，在数值实验中相比标准的Radau IIB方法展现出更优的长期能量守恒性和解的精度。

ABSTRACT

In this paper, we study symplectic integration of canonical Hamiltonian systems with Jacobi polynomials. The relevant theoretical results of continuous-stage Runge-Kutta methods are revisited firstly and then symplectic methods with Jacobi polynomials will be established. A few numerical experiments are well performed to verify the efficiency of our new methods.

研究动机与目标

• 开发用于典型哈密顿系统的结构保持型数值积分器，以维持辛结构。
• 将基于正交多项式的辛方法从勒让德和切比雪夫多项式推广至一般雅可比多项式。
• 建立基于雅可比多项式展开的连续阶辛方法的系统化构造框架。
• 通过开普勒问题的数值实验，验证所提方法的效率和几何精度。

提出的方法

• 该方法基于连续阶龙格-库塔（csRK）格式，其参数 Aτ,σ、Bτ 和 Cτ 在区间 [0,1] 上以函数形式定义。
• 使用雅可比多项式作为基函数，对系数 Aτ,σ 和 Bτ 进行展开，从而在方法构造中实现谱精度。
• 应用简化条件（B̌(ξ)、Č(η)、Ď(ζ)）以确保所得积分器的阶条件和辛性。
• 通过求解涉及雅可比权函数内积的方程组来推导系数，从而保证辛性和高阶精度。
• 采用5点高斯-勒让德求积规则，将连续阶方法离散化为实用的高阶显式龙格-库塔格式。
• 利用具有已知解析解的开普勒问题对方法进行验证，以评估能量守恒性和解误差增长情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 雅可比多项式能否被有效用于构造哈密顿系统的高阶辛积分器？
• RQ2 在连续阶框架中，正交多项式展开技术如何从勒让德和切比雪夫多项式推广至雅可比多项式？
• RQ3 使用不同雅可比多项式参数对辛积分器的稳定性和精度有何影响？
• RQ4 与已建立的Radau IIB方法相比，所得到的辛方法在长期能量守恒性和解误差方面表现如何？

主要发现

• 通过参数 (α,β) = (0,1) 的雅可比多项式，推导出一个3阶、3阶段的辛龙格-库塔方法，展现出高精度和良好稳定性。
• 通过参数 (α,β) = (1,2) 的雅可比多项式，构建了一个5阶、5阶段的辛方法，其能量守恒性和解精度优于同阶的Radau IIB方法。
• 在开普勒问题上的数值实验表明，所提方法的能量守恒性能和解误差增长略优于同阶的Radau IIB方法。
• 该方法框架具有通用性，可轻松扩展至任意加权正交多项式系统，仅需极少修改。
• 给出了5阶段方法的Butcher表，其系数虽复杂但结构清晰，由余弦项的三角表达式导出。
• 理论分析证实，所构造的方法满足辛条件 φ′h(z)TJφ′h(z) = J，从而保持哈密顿系统的几何结构。