[论文解读] Symplectic invariants, Virasoro constraints and Givental decomposition

Nicolas Orantin|ArXiv.org|Aug 5, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 62

一句话总结

本文证明了从谱曲线导出的辛不变量在 $ydx$ 的两个极点和 $dx$ 的零点处满足 Virasoro 约束，统一了矩阵 M-理论的两种方法：[14] 中的递归环方程与 [3] 中的 Virasoro 约束。关键结果是，通过 Givental 公式，配分函数被分解为 1-赫米特矩阵积分与 Kontsevich 积分的乘积，揭示了通过辛不变量实现的矩阵模型之间的对偶性。

ABSTRACT

Following the works of Alexandrov, Mironov and Morozov, we show that the symplectic invariants of \cite{EOinvariants} built from a given spectral curve satisfy a set of Virasoro constraints associated to each pole of the differential form $ydx$ and each zero of $dx$ . We then show that they satisfy the same constraints as the partition function of the Matrix M-theory defined by Alexandrov, Mironov and Morozov. The duality between the different matrix models of this theory is made clear as a special case of dualities between symplectic invariants. Indeed, a symplectic invariant admits two decomposition: as a product of Kontsevich integrals on the one hand, and as a product of 1 hermitian matrix integral on the other hand. These two decompositions can be though of as Givental formulae for the KP tau functions.

研究动机与目标

• 澄清矩阵 M-理论背景下不同矩阵模型之间的对偶性。
• 证明 [14] 中递归定义的辛不变量满足与 [3] 中配分函数相同的 Virasoro 约束。
• 建立配分函数的 Givental 类型分解，表示为 1-赫米特矩阵积分与 Kontsevich 型积分的乘积。
• 证明矩阵模型中的环方程对应于 $ydx$ 极点处的局部 Virasoro 约束。
• 将 Virasoro 约束形式化推广至一般谱曲线，而不仅限于双曲曲线。

提出的方法

• 从谱曲线 ${ mf E}(x,y)=0$ 定义辛不变量 $F^{(g)}({ mf E})$，并构造配分函数 ${ mf Z} = \exp\left(-\sum_g N^{2-2g} F^{(g)}\right)$。
• 引入电流算子 ${\cal J}(p) = N ydx(p) + \frac{1}{N} \partial_{B(\cdot,p)}$，结合微分形式与环插入算子。
• 利用电流算子与围线积分，推导出在 $ydx$ 的极点和 $dx$ 的零点处的全局 Virasoro 约束 $\widehat{\cal L}(p) {\rmf Z} = 0$。
• 通过在 $z_i(p)$ 中进行坐标展开，将全局 Virasoro 算子投影为极点和分支点附近的局部离散 Virasoro 生成元 $L_j^{(i)}$。
• 利用所得的局部 Virasoro 代数，将配分函数分解为 1-赫米特矩阵积分与 Kontsevich 型积分的乘积。
• 将该分解与 Givental 对多分量 KP tau 函数的公式联系起来，建立辛不变量与可积系统之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 [14] 中递归关系定义的辛不变量是否满足与 [3] 中矩阵 M-理论配分函数相同的 Virasoro 约束？
• RQ2 矩阵模型中的环方程能否被解释为 $ydx$ 极点处的局部 Virasoro 约束？
• RQ3 辛不变量在 Givental 形式化下如何分解？这对矩阵模型之间的对偶性有何含义？
• RQ4 全局 Virasoro 约束能否被投影为谱曲线奇点处的局部离散 Virasoro 代数？
• RQ5 Krichever-Novikov 代数结构在由 $\cal J(p)$ 定义的电流代数中起什么作用？

主要发现

• 由辛不变量定义的配分函数 ${\rmf Z}$ 在 $ydx$ 的每个极点和 $dx$ 的每个零点处满足全局 Virasoro 约束 $\widehat{\cal L}(p){\rmf Z} = 0$。
• 文献 [14] 中相关函数的递归定义等价于在分支点处作用 Virasoro 算子，证实了两种方法的一致性。
• 全局 Virasoro 算子在极点 $\alpha_i$ 附近分解为局部离散 Virasoro 生成元 $L_j^{(i)}$，其显式表达式包含 $t_{k,i}$-导数与结构常数。
• 配分函数可进行 Givental 类型分解，表示为一个 1-赫米特矩阵积分与若干 Kontsevich 积分的乘积，分别对应于极点和分支点。
• 1-赫米特矩阵模型与 Kontsevich 模型之间的对偶性，自然地由同一谱曲线通过不同的 Virasoro 约束产生。
• 该形式化方法可推广至非双曲曲线，为高亏格及混合相关函数的推广提供了框架。