[论文解读] Symplectic keys and Demazure atoms in type C

João Miguel Santos|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文在类型 $C$ 中为 Kashiwara-Nakashima 表引入了左对称与右对称的对称性钥匙，推广了类型 $A$ 中 Lascous-Sch"utzenberger 的钥匙构造。它证明了这些钥匙为超八面体群及其陪集上的 Bruhat 序提供了一个表的判别准则，描述了 Demazure 原子与特征标，并通过类型 $C$ 的 Sch"utzenberger 撤退映射与 Lusztig 对合建立了联系。

ABSTRACT

We compute, mimicking the Lascoux-Schützenberger type A combinatorial procedure, left and right keys for a Kashiwara-Nakashima tableau in type C. These symplectic keys have a similar role as the keys for semistandard Young tableaux. More precisely, our symplectic keys give a tableau criterion for the Bruhat order on the hyperoctahedral group and cosets, and describe Demazure atoms and characters in type C. The right and the left symplectic keys are related through the Lusztig involution. A type C Schützenberger evacuation is defined to realize that involution.

研究动机与目标

• 为类型 $C$ 中的 Kashiwara-Nakashima 表定义左对称与右对称的对称性钥匙，类比于类型 $A$ 中的钥匙映射。
• 通过对称性钥匙表，建立超八面体群 $B_n$ 及其陪集上 Bruhat 序的表判别准则。
• 通过这些对称性钥匙的组合学，描述类型 $C$ 中的 Demazure 原子与特征标。
• 通过显式实现的对称性插入与滑动运算，将左对称与右对称钥匙通过 Lusztig 对合联系起来。
• 为类型 $C$ 中的 Demazure 特征标提供一个构造性、组合学的框架，填补了先前关于 Kashiwara-Nakashima 表工作留下的空白。

提出的方法

• 引入类型 $C$ 中的“正则词”作为构造对称性钥匙的基础工具。
• 应用 Sheats 的对称性 jeu de taquin 来定义并计算 Kashiwara-Nakashima 表的右钥匙与左钥匙。
• 利用 Baker-Lecouvey 插入与共性等价关系，建立类型 $C$ 中在 plactic 幂等结构下表之间的联系。
• 定义一个类型 $C$ 的 Sch"utzenberger 撤退映射，以在表上实现 Lusztig 对合。
• 建立单词模型与表模型之间的晶体同构，表明 $P(w^\star)$ 与 $P(w)$ 具有相同的形状与对偶权。
• 证明表的右钥匙与其撤退后的左钥匙通过 Lusztig 对合相关联，利用 $\star$-运算下列的权对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将类型 $A$ 中的 Lascous-Sch"utzenberger 钥匙构造推广到 Kashiwara-Nakashima 表的类型 $C$？
• RQ2 如何通过对称性钥匙表来组合刻画超八面体群 $B_n$ 及其陪集上的 Bruhat 序？
• RQ3 对称性钥匙在类型 $C$ 中如何与 Demazure 原子及特征标相关联？
• RQ4 左对称与右对称钥匙通过 Lusztig 对合以何种方式关联？
• RQ5 类型 $C$ 中的 Lusztig 对合能否通过表上的对称性插入与滑动运算显式实现？

主要发现

• Kashiwara-Nakashima 表的右对称与左对称钥匙通过正则词与 Sheats 的对称性 jeu de taquin 定义，推广了类型 $A$ 的钥匙构造。
• 对称性钥匙为 $B_n$ 及其陪集（模一个典型权 $\lambda$ 的稳定子）上的 Bruhat 序提供了表判别准则，如定理 20 与定理 24 所示。
• 类型 $C$ 中的 Demazure 原子被描述为集合 $\mathfrak{U}(v)$ 上的生成函数，其中 $v$ 取遍 $\lambda$ 在 $B_n$ 轨道中的向量，且 $\mathfrak{B}_v = \biguplus_{\lambda \leq u \leq v} \mathfrak{U}(u)$。
• 左钥匙与右钥匙通过 Lusztig 对合关联：$K_+(T)^{\mathrm{Ev}} = K_-(T^{\mathrm{Ev}})$，其中 $\mathrm{Ev}$ 为类型 $C$ 的 Sch"utzenberger 撤退。
• $\star$-映射在单词上诱导出 $w$ 与 $w^\star$ 之间的晶体同构，且 $P(w)$ 与 $P(w^\star)$ 具有相同的形状与对偶权，证实了晶体的对偶性。
• 计算撤退映射的算法是合一次的，且右钥匙与左钥匙映射与 Lusztig 对合反交换，该结论通过 $\star$-运算下列权的对称性得以证明。