[论文解读] Symplectic Lie group methods

Geir Bogfjellmo, Håkon Marthinsen|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2013

Numerical methods for differential equations被引用 1

一句话总结

本文提出了一种统一框架，通过利用现有的李群积分法，在李群 G 的余切丛 T∗G 上构造辛积分法。通过应用龙格-库塔-芒特-卡斯方法和克鲁什-格罗斯曼方法，该方法能够构造任意高阶的辛积分法，从而保持几何数值积分中至关重要的辛结构。

ABSTRACT

In this article, a unified approach to obtain symplectic integrators on T ∗G from Lie group integrators on a Lie group G is presented. The approach is worked out in detail for symplectic integrators based on Runge–Kutta–Munthe-Kaas methods and Crouch–Grossman methods. In both cases, we show that it is possible to obtain symplectic integrators of arbitrarily high order by this approach. 1

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于在李群 G 的余切丛 T∗G 上生成辛积分法。
• 解决在李群上哈密顿系统数值积分中保持辛结构的挑战。
• 通过统一框架，将高阶辛积分法从李群积分法扩展到相空间 T∗G。
• 证明龙格-库塔-芒特-卡斯方法和克鲁什-格罗斯曼方法均可经调整以生成任意阶的辛积分法。

提出的方法

• 该方法利用 T∗G 的自然辛结构，将定义在李群 G 上的积分法提升到相空间。
• 应用龙格-库塔-芒特-卡斯方法在 G 上构造时间积分法，并将其提升至 T∗G，同时保持辛性。
• 对于克鲁什-格罗斯曼方法，该方法利用其在李群上的内在结构，将其扩展为 T∗G 上的辛积分法。
• 该构造确保 T∗G 上的辛形式在数值流下保持不变。
• 该方法依赖于李群及其余切丛的几何性质，特别是左不变向量场和指数映射。
• 理论分析证实，所得积分法为辛法，且阶数可任意提高。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 G 上的李群积分法在余切丛 T∗G 上构造任意高阶的辛积分法？
• RQ2 在将积分法从 G 扩展到 T∗G 时，如何保持 T∗G 的辛结构？
• RQ3 对龙格-库塔-芒特-卡斯方法和克鲁什-格罗斯曼方法进行何种修改，才能在 T∗G 上实现辛性？
• RQ4 是否存在一个统一框架，能够基于 G 上的现有积分法实现在 T∗G 上的辛积分？
• RQ5 提升后的积分法保持辛性的必要和充分条件是什么？

主要发现

• 所提方法通过从 G 提升李群积分法，成功在 T∗G 上构造了辛积分法，保持了相空间的辛结构。
• 通过该框架，可利用龙格-库塔-芒特-卡斯方法和克鲁什-格罗斯曼方法获得任意高阶的辛积分法。
• 提升过程确保数值流保持辛性，这对哈密顿模拟的长期稳定性至关重要。
• 该方法具有普遍性，对两类积分法均适用，展现出广泛适用性。
• 理论分析证实，所得积分法为辛法，且对精度阶数无任何限制。
• 该方法提供了一种系统且几何一致的方式，将现有李群积分法扩展为余切丛上的辛积分法。