[论文解读] Symplectic maps: from generating functions to Liouvillian forms

Hugo Jiménez-Pérez|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的几何方法，通过在特殊辛流形上使用Liouvillian形式来构造隐式辛映射，绕过了传统的生成函数和Darboux坐标。该方法推广了辛Cayley变换，得到一个维度为n(2n+1)的连续辛积分器族，包括辛Euler A/B格式和中点法则作为特例，并导出了广义隐式辛Euler格式作为关键结果。

ABSTRACT

In this article we introduce a new method for constructing implicit symplectic maps using special symplectic manifolds and Liouvillian forms. This method extends, in a natural way, the method of generating functions to 1-forms which are globally defined on the symplectic manifold. The maps constructed by this method, are related to the symplectic Cayley's transformation and belong to a continuous space of dimension n(2n+1). Applying the implicit map to the discrete Hamilton equations we obtain the generalized symplectic Euler scheme. We show the relations of the elements of this family with other discrete symplectic mapping, in particular 1) with the mappings obtained by generating functions of type I, II, and III and IV; 2) with the symplectic Euler methods A and B; and 3) with the mid-point rule. Moreover, we show the corresponding symplectic diffeomorphisms and their Liouvillian forms on the product symplectic manifold. We illustrate the details of the method in constructing two different families of implicit symplectic maps for $n=1$. This is a geometrical method which overcomes the difficulties of the Hamilton-Jacobi theory and generating functions.

研究动机与目标

• 开发一种几何框架，用于构造不依赖于生成函数和Darboux坐标的隐式辛映射。
• 将多种已知的辛积分器（如辛Euler A/B和中点法则）统一于一个连续映射族之下。
• 建立Liouvillian形式与辛Cayley变换之间的联系，提供连续变换的离散类比。
• 将广义隐式辛Euler格式作为该方法的自然结果推导出来，适用于哈密顿系统。
• 通过n=1的显式构造展示该方法，阐明Liouvillian形式在定义乘积辛流形上辛微分同胚中的作用。

提出的方法

• 该方法通过辛流形上全局定义的Liouvillian 1-形式θ的积分流形所定义的拉格朗日子流形来构造辛映射。
• 利用乘积辛流形上的复结构，推导拉格朗日子流形的切空间方程，从而避免求解哈密顿-雅可比方程。
• 通过拉格朗日子流形在投影上的横截性条件获得辛映射，确保辛性而不依赖坐标约化。
• 在直线性情形下，映射在对角线上收敛于恒等映射，该条件被转化为原始流形上两个Liouvillian形式之间的关系。
• 通过在2×2(ℝ)中的矩阵参数b（迹为零）定义广义辛Euler格式，将该方法推广至任意哈密顿系统，确保辛性。
• 通过证明已知格式（如辛Euler A/B、中点法则）在参数b取特定值时作为特例出现，验证了该框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用Liouvillian形式而非生成函数系统地构造辛映射？
• RQ2 Liouvillian形式、拉格朗日子流形与乘积流形上辛微分同胚之间的几何关系是什么？
• RQ3 所提出的该方法在离散设置下如何推广辛Cayley变换？
• RQ4 广义隐式辛Euler格式能否作为该Liouvillian形式框架的自然结果推导出来？
• RQ5 矩阵参数b在决定积分器数值行为方面起什么作用？其参数如何与已知的辛格式相关联？

主要发现

• 该方法构造了一个维度为n(2n+1)的连续隐式辛映射族，推广了标准的生成函数方法。
• 广义隐式辛Euler格式作为自然结果被推导出来，其数值更新由z_h = z_0 + h X_H(ρ(z_0, z_h))定义，其中ρ是通过哈密顿矩阵b参数化的线性映射。
• 当b取特定值时，辛Euler A和B方法分别作为极限情形被恢复：(α,β,γ) = (1/2,0,0) 和 (−1/2,0,0)。
• 中点法则对应于b为旋转矩阵且φ = π/4的情形，产生对称的更新格式。
• 对于n=1，显式构造了两组连续的辛积分器族——一组基于特殊辛流形，另一组通过广义Euler格式——展示了该方法的灵活性。
• 该方法为数值格式提供了几何解释，将其视为辛Cayley变换的离散类比，揭示了其与哈密顿矩阵结构的联系。