[论文解读] Symplectic Model Reduction of Hamiltonian Systems on Nonlinear Manifolds

Patrick Buchfink, Silke Glas+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种辛流形伽辽金（SMG）投影方法，用于在非线性流形上对哈密顿系统进行模型降阶，保持辛结构、能量守恒和稳定性。该方法利用弱辛深度卷积自编码器构建非线性辛试验流形，在比经典线性子空间或非辛流形方法更低的降阶维数下实现了更优的精度。

ABSTRACT

Classical model reduction techniques project the governing equations onto linear subspaces of the high-dimensional state-space. For problems with slowly decaying Kolmogorov-n-widths such as certain transport-dominated problems, however, classical linear-subspace reduced-order models (ROMs) of low dimension might yield inaccurate results. Thus, the concept of classical linear-subspace ROMs has to be extended to more general concepts, like Model Order Reduction (MOR) on manifolds. Moreover, as we are dealing with Hamiltonian systems, it is crucial that the underlying symplectic structure is preserved in the reduced model, as otherwise it could become unphysical in the sense that the energy is not conserved or stability properties are lost. To the best of our knowledge, existing literature addresses either MOR on manifolds or symplectic model reduction for Hamiltonian systems, but not their combination. In this work, we bridge the two aforementioned approaches by providing a novel projection technique called symplectic manifold Galerkin (SMG), which projects the Hamiltonian system onto a nonlinear symplectic trial manifold such that the reduced model is again a Hamiltonian system. We derive analytical results such as stability, energy-preservation and a rigorous a-posteriori error bound. Moreover, we construct a weakly symplectic deep convolutional autoencoder as a computationally practical approach to approximate a nonlinear symplectic trial manifold. Finally, we numerically demonstrate the ability of the method to outperform (non-)structure-preserving linear-subspace ROMs and non-structure-preserving MOR on manifold techniques.

研究动机与目标

• 解决经典线性子空间降阶模型（ROM）在捕捉具有缓慢科莫戈罗夫-n-宽度衰减的输运主导问题时的局限性。
• 弥合辛结构降阶与基于流形的模型降阶（MOR）之间的差距，这两者此前一直被分别研究。
• 开发一种投影技术，确保在非线性流形上保持哈密顿结构——具体而言，保持辛结构、能量守恒和李雅普诺夫稳定性。
• 构建一种计算上实用的弱辛深度卷积自编码器（DCA），以近似非线性辛试验流形。
• 证明所提出的SMG-ROM在精度和长期稳定性方面优于非结构保持型ROM以及非辛流形基MOR方法。

提出的方法

• 提出辛流形伽辽金（SMG）投影技术，将全阶哈密顿系统投影到非线性辛试验流形上。
• 通过流形的几何结构和投影约束，确保约化系统保持哈密顿性，从而维持辛结构。
• 基于时间离散化形式推导严格的后验误差界，以实现在约化模型中的误差控制。
• 设计一种弱辛深度卷积自编码器（DCA），通过网络架构约束而非惩罚项来强制实现辛结构。
• 使用与经典辛ROM相同的高保真快照进行DCA训练，确保比较的公平性。
• 将DCA与SMG投影集成，生成一种在温和假设下保持能量守恒和稳定性的约化模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效将辛结构降阶扩展到非线性流形，以提升具有缓慢科莫戈罗夫-n-宽度衰减问题的精度？
• RQ2 在流形上，约化模型中保持辛结构是否能带来比非辛方法更好的能量守恒和长期稳定性？
• RQ3 弱辛深度卷积自编码器能否在保持计算可行性的同时，有效近似非线性辛试验流形？
• RQ4 SMG-ROM在精度和稳定性方面与经典线性子空间ROM及非辛流形基MOR相比表现如何？
• RQ5 在基于自编码器的流形学习用于ROM时，通过架构实现辛结构强制与基于损失的惩罚相比有何影响？

主要发现

• 在温和假设下，SMG-ROM保持了辛结构、能量守恒和李雅普诺夫稳定性，确保了约化模型的物理一致性。
• 弱辛DCA确保哈密顿量误差在整个时间范围内保持在5.5×10⁻⁴以下，显著优于非辛DCA（在t=1时误差高达2）。
• 对于由波动方程控制的移动脉冲问题，SMG-ROM在极低维流形下实现了低降阶误差，优于经典线性子空间ROM。
• 尽管进行了流形学习，非辛流形基MOR方法仍产生较差的解，表明辛结构对哈密顿系统精度至关重要。
• 该方法继承了自编码器方法的挑战，包括超参数增多以及缺乏完全的离线-在线分离，这为未来在超还原和辛结构架构设计方面的工作提供了动力。
• 数值结果表明，采用弱辛DCA的SMG-ROM保持了低哈密顿量误差和辛结构误差，而非辛变体在能量守恒方面显著发散。