[论文解读] Symplectic quotients by a nonabelian group and by its maximal torus

Shaun Martin|ArXiv.org|Jan 1, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 75

一句话总结

本文建立了紧非交换李群 $G$ 及其极大环面 $T\subset G$ 的辛商 $X//G$ 与 $X//T$ 上有理上同调环、上同调配对以及椭圆算子指标之间的精确关系。证明了 $H^*(X//G;\mathbb{Q})$ 同构于 $H^*(X//T;\mathbb{Q})$ 的 $W$-不变子环模去根线丛的欧拉类乘积的零化子。

ABSTRACT

This paper examines the relationship between the symplectic quotient X//G of a Hamiltonian G-manifold X, and the associated symplectic quotient X//T, where T is a maximal torus, in the case in which X//G is a compact manifold or orbifold. The three main results are: a formula expressing the rational cohomology ring of X//G in terms of the rational cohomology ring of X//T; an `integration' formula, which expresses cohomology pairings on X//G in terms of cohomology pairings on X//T; and an index formula, which expresses the indices of elliptic operators on X//G in terms of indices on X//T. (The results of this paper are complemented by the results in a companion paper, in which different techniques are used to derive formulae for cohomology pairings on symplectic quotients X//T, where T is a torus, in terms of the T-fixed points of X. That paper also gives some applications of the formulae proved here.)

研究动机与目标

• 建立紧非阿贝尔李群 $G$ 及其极大环面 $T$ 的辛商 $X//G$ 与 $X//T$ 的有理上同调环之间的结构性关系。
• 通过上同调类的提升，推导出将 $X//G$ 上的上同调配对表示为 $X//T$ 上配对的积分公式。
• 基于 $T$-辛商，建立 $X//G$ 上椭圆算子的指标定理。
• 在自由作用与紧致性假设下，为通过更简单的环面商 $X//T$ 计算辛商的拓扑不变量提供一个框架。

提出的方法

• 定义辛商 $X//G = \mu_G^{-1}(0)/G$ 与 $X//T = \mu_T^{-1}(0)/T$，其中 $\mu_G$ 与 $\mu_T$ 分别为 $G$-与 $T$-作用的矩映射。
• 利用 $T$-主丛 $\mu_T^{-1}(0) \to X//T$，通过与 $T$-权 $\alpha$ 关联的线丛的欧拉类，构造特征类 $e(\alpha) \in H^2(X//T;\mathbb{Q})$。
• 定义类 $e = \prod_{\alpha \in \Delta} e(\alpha)$，其中 $\Delta$ 为 $G$ 的根集，并考虑 $H^*(X//T;\mathbb{Q})^W$ 中的理想 $\operatorname{ann}(e)$。
• 建立环同构 $H^*(X//G;\mathbb{Q}) \cong H^*(X//T;\mathbb{Q})^W / \operatorname{ann}(e)$，其中 $W$ 为 $G$ 的外尔群。
• 通过沿映射 $\pi: Y \to X//G$ 与 $i: Y \hookrightarrow X//T$ 的拉回与限制，引入上同调类 $a \in H^*(X//G)$ 的“提升” $\tilde{a} \in H^*(X//T)$，其中 $Y = \mu_G^{-1}(0)/T$。
• 推导积分公式：$\int_{X//G} a = \frac{1}{|W|} \int_{X//T} \tilde{a} \smile e$，该公式将 $X//G$ 上的上同调配对与 $X//T$ 上的配对关联起来。
• 在 $X//G$ 上定义一个与辛形式相容的几乎复结构，并在 $X//G$ 上的复向量丛 $V$ 上构造狄拉克型算子 $D_V$。
• 证明指标公式：$\operatorname{index}^{X//G} D_V = \operatorname{index}^{X//T} D_{\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{even}} E} - \operatorname{index}^{X//T} D_{\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{odd}} E}$，其中 $E$ 为 $T$-权的向量丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用 $T$-商 $X//T$ 的上同调来描述非阿贝尔紧李群 $G$ 作用下辛商 $X//G$ 的有理上同调环？
• RQ2 如何精确刻画 $X//G$ 与 $X//T$ 上的上同调配对之间的关系？能否通过外尔群与特征类的公式表达？
• RQ3 能否利用 $T$-辛商 $X//T$ 的数据计算 $X//G$ 上椭圆算子的指标？
• RQ4 辛商 $X//G$ 的拓扑不变量（如上同调环结构与指标）如何与极大环面 $T$ 的不动点数据及表示论相关联？

主要发现

• 有理上同调环 $H^*(X//G;\mathbb{Q})$ 同构于 $H^*(X//T;\mathbb{Q})$ 的 $W$-不变子环模去乘积 $e = \prod_{\alpha \in \Delta} e(\alpha)$ 的零化子，其中 $\Delta$ 为 $G$ 的根集。
• 积分公式 $\int_{X//G} a = \frac{1}{|W|} \int_{X//T} \tilde{a} \smile e$ 将 $X//G$ 上的上同调配对表示为 $X//T$ 上的配对，其中 $a$ 的提升 $\tilde{a}$ 满足 $\pi^*a = i^*\tilde{a}$。
• 在 $X//G$ 上的椭圆算子 $D_V$ 的指标由 $X//T$ 上的两个丛 $\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{even}} E$ 与 $\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{odd}} E$ 的指标的交错和给出，其中 $E$ 为 $T$-权的向量丛。
• 对于格拉斯曼流形 $G(k,n)$，积分公式给出 $\int_{G(k,n)} \prod_{i=1}^k c_i(V^*)^{m_i} = \frac{1}{k!} \operatorname{coeff}_{u_1^{n-1}\cdots u_k^{n-1}}\big(\sigma_1^{m_1}\cdots\sigma_k^{m_k} \cdot \prod_{i\neq j}(u_i - u_j)\big)$，其中 $\sigma_i$ 为初等对称多项式。
• $G(k,n)$ 上典范丛 $V^*$ 的陈类被识别为变量 $u_j$ 的初等对称多项式，而 $(\mathbb{CP}^{n-1})^k$ 上 $T$-线丛的欧拉类为 $u_j - u_i$。
• 将 $G(k,n)$ 构造为辛商 $\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^k,\mathbb{C}^n)//U(k)$，其矩映射为 $\mu_{U(k)}(A) = A^*A - I$，由此可知 $\mu_{U(k)}^{-1}(0)$ 为酉 $k$-标架的空间，其关于 $U(k)$ 的商为 $G(k,n)$。