[论文解读] Symplectic reflection algebras, Calogero-Moser space, and deformed Harish-Chandra homomorphism

Pavel Etingof, Victor Ginzburg|ArXiv.org|Nov 16, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用 40

一句话总结

本文将辛反射代数引入为有限群 Γ ⊂ Sp(V) 的 smash 乘积代数 ℂ[V]#Γ 的多参数形变，建立了辛 McKay 对应关系的辛类比。它构造了一个从 𝔤𝔩_n 上的不变微分算子代数到辛反射代数的形变 Harish-Chandra 同态，表明二阶拉普拉斯算子映射为 Calogero-Moser 算子，并证明代数 H_∞ 同构于 Calogero-Moser 空间上一个特殊向量丛的自同态代数，其纤维携带 S_n 的正则表示。

ABSTRACT

To any finite group G of automorphisms of a symplectic vector space V we associate a new multi-parameter deformation, H_k, of the smash product of G with the polynomial algebra on V. The algebra H_k, called a symplectic reflection algebra, is related to the coordinate ring of a universal Poisson deformation of the quotient singularity V/G. If G is the Weyl group of a root system in a vector space h and V=h\oplus h^*, then the algebras H_k are `rational' degenerations of Cherednik's double affine Hecke algebra. Let G=S_n, the Weyl group of g=gl_n. We construct a 1-parameter deformation of the Harish-Chandra homomorphism from D(g)^g, the algebra of invariant polynomial differential operators on gl_n, to the algebra of S_n-invariant differential operators with rational coefficients on C^n. The second order Laplacian on g goes, under the deformed homomorphism, to the Calogero-Moser differential operator with rational potential. Our crucial idea is to reinterpret the deformed homomorphism as a homomorphism: D(g)^g o {spherical subalgebra in H_k}, where H_k is the symplectic reflection algebra associated to S_n. This way, the deformed Harish-Chandra homomorphism becomes nothing but a description of the spherical subalgebra in terms of `quantum' Hamiltonian reduction. In the classical limit k -> \infty, our construction gives an isomorphism between the spherical subalgebra in H_\infty and the coordinate ring of the Calogero-Moser space. We prove that all simple H_\infty-modules have dimension n!, and are parametrised by points of the Calogero-Moser space. The algebra H_\infty is isomorphic to the endomorphism algebra of a distinguished rank n! vector bundle on this space.

研究动机与目标

• 开发基于非交换代数（特别是 smash 乘积 ℂ[V]#Γ）的商奇点 V/Γ 的形变理论。
• 通过与有限子群 Γ ⊂ Sp(V) 相关的辛反射代数 H_κ，建立 McKay 对应关系的辛类比。
• 构造从 𝔤𝔩_n 上的不变微分算子到具有有理系数的 ℂ^n 上微分算子的 1 参数形变 Harish-Chandra 同态。
• 将 H_κ 的经典极限（κ → ∞）与 Calogero-Moser 空间的坐标环联系起来，并将 H_∞ 实现为纤维携带 S_n 正则表示的向量丛的自同态代数。
• 证明所有简单 H_∞-模的维数为 n!，并由 Calogero-Moser 空间的点参数化。

提出的方法

• 将辛反射代数 H_κ 定义为张量代数 TV#Γ 关于关系的商，这些关系编码了由 Γ 中辛反射的共轭类参数化的斜对称配对 κ: V×V → ℂΓ。
• 使用量子哈密顿约化，将形变 Harish-Chandra 同态重新解释为从 D(𝔤)^𝔤 到 H_κ 的球对称子代数的满射。
• 通过径向部分构造方法构造径向部分映射，将 D(𝔤)^𝔤 约化为具有有理系数的 Cartan 子代数 ℂ^n 上的微分算子。
• 识别形变同态下二阶拉普拉斯算子的像为具有有理势的 Calogero-Moser 微分算子。
• 证明在经典极限（κ → ∞）下，H_∞ 的球对称子代数同构于 Calogero-Moser 空间的坐标环。
• 建立 H_∞ 同构于 Calogero-Moser 空间上一个秩为 n! 的向量丛的自同态代数，其纤维携带 S_n 的正则表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为有限群 Γ ⊂ Sp(V) 构造代数 ℂ[V]#Γ 的形变，以捕捉商奇点 V/Γ 的辛几何？
• RQ2 辛反射代数与 Calogero-Moser 空间的几何之间存在何种关系，特别是在经典极限下？
• RQ3 形变 Harish-Chandra 同态如何将 𝔤𝔩_n 上的不变微分算子与辛反射代数的球对称子代数联系起来？
• RQ4 简单 H_∞-模的范畴结构如何？它们如何被参数化？
• RQ5 辛反射代数 H_κ 能否被解释为量子哈密顿约化？这对相关模空间的几何有何含义？

主要发现

• 辛反射代数 H_κ 是 ℂ[V]#Γ 的多参数形变，参数 κ 索引 Γ 中辛反射的共轭类。
• 形变 Harish-Chandra 同态将 𝔤-不变微分算子代数 D(𝔤)^𝔤 映射到 H_κ 的球对称子代数，其中二阶拉普拉斯算子映射为 Calogero-Moser 算子。
• 在经典极限（κ → ∞）下，H_∞ 的球对称子代数同构于 Calogero-Moser 空间的坐标环。
• 所有简单 H_∞-模的维数为 n!，并由 Calogero-Moser 空间的点参数化。
• 代数 H_∞ 同构于 Calogero-Moser 空间上一个特殊向量丛的自同态代数，其纤维携带 S_n 的正则表示。
• 由调和多项式构造的微分算子 S_𝔞 的径向部分，产生 Calogero-Moser 空间上的移位算子，其主符号等于 Weyl 分母。