[论文解读] Symplectic Resolutions for Quotient Singularities

Baohua Fu|ArXiv.org|Jun 27, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明：若光滑复代数簇 $X$ 的余切丛 $T^*X$ 被 $\mathrm{Aut}(X)$ 中保持辛形式的有限群 $G$ 商化，且所得商空间 $T^*X/G$ 允许辛解析解，则 $X/G$ 必为光滑的，且该解析解包含一个与 $T^*(X/G)$ 同构的开子集。核心贡献是当 $X = \mathbb{P}^n$ 且 $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 时，建立了一种基于群元素特征值重数的霍奇数 McKay 型对应关系。

ABSTRACT

We give some necessary conditions for the existence of a symplectic resolution for quotient singularities. The McKay correspondence is also worked out for these resolutions.

研究动机与目标

• 确定 $T^*X/G$ 允许辛解析解的必要条件。
• 当 $T^*X/G$ 允许辛解析解时，阐明解析解 $Z$ 的几何结构。
• 在 $X = \mathbb{P}^n$ 且 $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 的情形下，建立 $Z$ 的霍奇数的 McKay 对应型公式。
• 从群 $G$ 的群论数据推导 $Z$ 的拓扑不变量，如欧拉示性数。

提出的方法

• 利用 $T^*X/G$ 上的 ${\mathbb{C}}^*$-作用及其在解析解 $Z$ 上的提升，分析辛形式的权，并应用催眠解析技术。
• 应用 Kaledin 和 Fu 关于辛解析解与 ${\mathbb{Q}}$-因子性的结果，约束不动点集 $\bigcup_{g \neq 1} \mathrm{Fix}(g)$。
• 使用轨道 $E$-函数与 $E$-多项式，计算解析解 $Z$ 的霍奇理论不变量。
• 将 $Z$ 的霍奇多项式与 $G$ 的共轭类及 $g \in G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 的特征值重数 $k_i(g)$ 关联。
• 利用不动点集 $X^g$ 及其关于中心化子的商的纤维化结构，计算 $E$-多项式。
• 应用庞加莱对偶性与变量替换，推导 $Hilb^n(T^*\Sigma)$ 的贝蒂数生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 在 $T^*X$ 上作用保持辛形式时，$T^*X/G$ 在何种条件下允许辛解析解？
• RQ2 若 $T^*X/G$ 允许辛解析解，则其解析解 $Z$ 必须具备何种几何结构？
• RQ3 在 $X = \mathbb{P}^n$ 且 $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 的情形下，能否建立 $Z$ 的霍奇数的 McKay 对应型公式？
• RQ4 $Z$ 的贝蒂数与欧拉示性数如何与 $G$ 的共轭类及特征值数据相关联？
• RQ5 光滑射影曲线 $\Sigma$ 的希尔伯特概形 $Hilb^n(T^*\Sigma)$ 的上同调是什么？

主要发现

• 若 $T^*X/G$ 允许辛解析解，则 $X/G$ 光滑，且解析解 $Z$ 包含一个与 $T^*(X/G)$ 同构的开子集。
• 当 $X = \mathbb{P}^n$ 且 $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 时，解析解 $Z$ 的霍奇多项式为 $\sum_{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(Z)u^p v^q = (uv)^n \sum_{\{g\}} \sum_i \frac{(uv)^{k_i(g)} - 1}{uv - 1}$，其中 $k_i(g)$ 为 $g \in G$ 的特征值重数。
• $Z$ 的欧拉示性数为 $e(Z) = (n+1) c(G)$，其中 $c(G)$ 为 $G$ 在 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n)$ 中的共轭类数。
• 对所有 $j$，有 $H^{2j+1}(Z,\mathbb{C}) = 0$，且对所有 $i$，$H^{2i}(Z,\mathbb{C})$ 仅有 $(i,i)$-型霍奇分量，且当 $i < n$ 时 $H^{2i}(Z,\mathbb{C}) = 0$。
• $Hilb^n(T^*\Sigma)$ 的贝蒂数生成函数为 $\sum_{n=0}^\infty P_t(Hilb^n(T^*\Sigma)) q^n = \prod_{d=1}^\infty \frac{(1 + t^{2d-1} q^d)^{b_1(\Sigma)}}{(1 - t^{2d-2} q^d)^{b_0(\Sigma)} (1 - t^{2d} q^d)^{b_2(\Sigma)}}$，从而恢复了 Göttsche 公式。
• 当 $X = \mathbb{C}^n$ 且 $G$ 作用保持辛形式时，解析解 $Z$ 是单连通且有理的。