[论文解读] Symplectic Runge-Kutta Semi-discretization for Stochastic Schrödinger Equation

Chuchu Chen, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文提出了一类用于随机薛定谔方程在伊tō积分意义下的时间半隐式格式的随机辛龙格-库塔方法，将其确立为无限维随机哈密顿系统。该方法保持辛结构与电荷守恒，且收敛性定理证明了随机中点格式在适当的正则性条件下达到均方收敛阶1。

ABSTRACT

Based on a variational principle with a stochastic forcing, we indicate that the stochastic Schrödinger equation in Stratonovich sense is an infinite-dimensional stochastic Hamiltonian system, whose phase flow preserves symplecticity. We propose a general class of stochastic symplectic Runge-Kutta methods in temporal direction to the stochastic Schrödinger equation in Stratonovich sense and show that the methods preserve the charge conservation law. We present a convergence theorem on the relationship between the mean-square convergence order of a semi-discrete method and its local accuracy order. Taking stochastic midpoint scheme as an example of stochastic symplectic Runge-Kutta methods in temporal direction, based on the theorem we show that the mean-square convergence order of the semi-discrete scheme is 1 under appropriate assumptions.

研究动机与目标

• 将随机薛定谔方程在伊tō积分意义下建立为具有辛相流的无限维随机哈密顿系统。
• 提出一类用于时间半隐式格式的通用随机辛龙格-库塔方法，以保持辛结构与电荷守恒。
• 推导一个收敛性定理，将半离散格式的局部精度阶与均方收敛阶联系起来。
• 分析随机中点格式作为辛龙格-库塔方法特例时的均方收敛阶。
• 通过数值实验验证理论结果，包括收敛性与守恒性质。

提出的方法

• 通过含随机强迫项的变分原理构建无限维随机哈密顿系统。
• 推导应用于时间方向的龙格-库塔方法的辛条件，以确保辛结构的保持。
• 证明辛龙格-库塔方法同样保持随机薛定谔方程的电荷守恒律。
• 建立一个收敛性定理，表明在足够空间正则性下，半离散格式的均方收敛阶等于其局部精度阶。
• 将收敛性定理应用于随机中点格式，证明其在适当假设下具有均方收敛阶1。
• 在空间方向采用有限差分法，时间方向采用中点格式，并通过高分辨率计算获得参考解。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机薛定谔方程在伊tō积分意义下能否被表述为具有辛相流的无限维随机哈密顿系统？
• RQ2 当应用于该系统时，时间方向龙格-库塔方法的辛条件是什么？
• RQ3 辛龙格-库塔方法是否保持随机薛定谔方程的电荷守恒律？
• RQ4 该方程的半离散格式中，局部精度阶与均方收敛阶之间存在何种关系？
• RQ5 应用于随机薛定谔方程的随机中点格式的均方收敛阶是多少？

主要发现

• 随机薛定谔方程在伊tō积分意义下是一个无限维随机哈密顿系统，其相流保持辛结构。
• 提出了一类通用的时间随机辛龙格-库塔方法，且这些方法保持电荷守恒律。
• 作为辛龙格-库塔方法特例的随机中点格式，在适当的正则性假设下达到均方收敛阶1。
• 数值实验表明，当中点格式在噪声足够规则时（例如，$M=10$ 或 $M=50$ 且 $\mathbf{Q}$ 算子光滑），其在随机情形下实现阶1收敛。
• 对于正则性较低的噪声（例如，$M=8$ 或 $M=100$），收敛阶下降至约0.5，与解正则性对噪声算子的依赖关系一致。
• 非辛方法无法保持电荷与能量，表现为电荷线性衰减与平均能量非线性增长；而辛中点格式则维持电荷守恒与受控的能量增长。