[论文解读] Symplectic topology of Lagrangian submanifolds of CP^n with intermediate minimal Maslov numbers

Hiroshi Iriyeh|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文研究复射影空间 ℂPⁿ 中具有中间最小 Maslov 数的单调拉格朗日子流形的辛拓扑，重点关注 SU(p)/ℤₚ 和 SU(p)/SO(p)ℤₚ 等族。通过使用 Biran-Cornea 理论与 ℤ₂ 上的 Floer 上同调，建立了同调刚性与非位移性，证明当 n=5 和 n=8 时，此类拉格朗日子流形的上同调同构于 SU(3)/ℤ₃ 和 SU(3)/(SO(3)ℤ₃)，且其为阶等于其最小 Maslov 数的无理曲率族。

ABSTRACT

We examine symplectic topological features of certain family of monotone Lagrangian submanifolds in CP^n. Firstly, we give a cohomological restriction for Lagrangian submanifolds in CP^n whose first integral homologies are 3-torsion. In particular, in the case where n=5,8, we prove the cohomologies with coefficients in Z_2 of such Lagrangian submanifolds are isomorphic to that of SU(3)/(SO(3) Z_3) and SU(3)/Z_3, respectively. Secondly, we calculate the Floer cohomology of a monotone Lagrangian submanifold SU(p)/Z_p in CP^{p^2-1} with coefficients in Z_2 by using Biran-Cornea's theory.

研究动机与目标

• 研究复射影空间 ℂPⁿ 中具有中间最小 Maslov 数的单调拉格朗日子流形的辛拓扑。
• 在 ℂP⁵ 和 ℂP⁸ 中，为具有 3-挠第一同调的拉格朗日子流形建立同调刚性。
• 使用 Biran-Cornea 理论计算 ℂP^{p²−1} 中 SU(p)/ℤₚ 的 Floer 上同调。
• 证明这些拉格朗日子流形的非位移性与无理曲率性。
• 为 ℂPⁿ 中单调拉格朗日子流形的分类做出贡献，并探讨其在辛拟态与量子上同调中的作用。

提出的方法

• 使用 Biran-Cornea 关于系数取 ℤ₂ 的单调拉格朗日子流形的 Floer 上同调理论。
• 应用由 H₁ 中 3-挠结构导出的上同调限制。
• 将最小 Maslov 数 N_L 作为关键不变量，用于分类拉格朗日子流形并确定其刚性。
• 应用定理 24，通过验证上同调中的狭义性与环生成性，证明阶为 N_L 的无理曲率性。
• 利用拉格朗日圆丛构造与 Oh 的结果，将 N_L 限制在 [1, n+1] 范围内。
• 依赖于 H*(L;ℤ₂) 由总度数 ≤ 2p−1 的类生成的事实，以应用无理曲率定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℂPⁿ 中，具有 H₁(·;ℤ) 中 3-挠的单调拉格朗日子流形是否具有同调刚性，即其上同调环是否分别与 SU(3)/ℤ₃ 和 SU(3)/(SO(3)ℤ₃) 在维度 5 和 8 时同构？
• RQ2 能否使用 Biran-Cornea 框架在 ℤ₂ 上计算 ℂP^{p²−1} 中 SU(p)/ℤₚ 的 Floer 上同调？
• RQ3 对所有 p ≥ 2，拉格朗日子流形 SU(p)/ℤₚ 在 ℂP^{p²−1} 中是否非位移？
• RQ4 对于 SU(p)/ℤₚ，其无理曲率性质是否成立，且阶等于其最小 Maslov 数 N_L = 2p？
• RQ5 中间最小 Maslov 数（2p 与 p+1）如何影响 ℂPⁿ 中单调拉格朗日子流形的辛拓扑与分类？

主要发现

• 当 n=5 时，任何 ℂP⁵ 中具有 H₁(L;ℤ) 中 3-挠的单调拉格朗日子流形 L 满足 H*(L;ℤ₂) ≅ H*(SU(3)/(SO(3)ℤ₃);ℤ₂)。
• 当 n=8 时，任何 ℂP⁸ 中具有 H₁(L;ℤ) 中 3-挠的此类 L 满足 H*(L;ℤ₂) ≅ H*(SU(3)/ℤ₃;ℤ₂)。
• 在 ℂP^{p²−1} 中，SU(p)/ℤₚ 的 ℤ₂ 系数 Floer 上同调非零，意味着其非位移。
• 当 p 为奇素数时，拉格朗日子流形 SU(p)/ℤₚ 为狭义且阶为 N_L = 2p 的无理曲率族。
• 在 ℂP^{p²−1} 中，SU(p)/ℤₚ 的最小 Maslov 数为 N_L = 2p；当 p 为素数时，在 ℂP^{(p(p+1)/2)−1} 中，SU(p)/SO(p)ℤₚ 的最小 Maslov 数为 p+1。
• 无理曲率结果对 SU(p)/ℤₚ 成立，且在另外两种情形下也成立：L ⊂ ℂP⁸ 且 N_L = 6，以及 L ⊂ ℂP²⁶ 且 N_L = 18，前提是满足指定的上同调条件。