[论文解读] Symplectic topology of SU(2)-representation varieties and link homology, I: Symplectic braid action and the first Chern class

Magnus Jacobsson, Ryszard L. Rubinsztein|ArXiv.org|Jun 18, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 14

一句话总结

本文通过构建一个具有 braid 群作用的辛流形，将链路补的 SU(2)-表示簇与链路同调联系起来，建立了辛几何框架。该框架通过将辫子对应到拉格朗日子流形，并证明表示簇是此类拉格朗日子流形的交点，从而实现这一联系。关键结果是：单重分次的 Khovanov 同调与表示簇各连通分支的上同调之间存在精确匹配，仅存在整数分次移位，为观察到的同调相似性提供了几何解释。

ABSTRACT

There are some similarities between cohomology of SU(2)-representation varieties of the fundamental group of some link complements and the Khovanov homology of the links. We start here a program to explain a possible source of these similarities. We introduce a symplectic manifold ${\mathscr M}$ with an action of the braid group $B_{2n}$ preserving the symplectic structure. The action allows to associate a Lagrangian submanifold of ${\mathscr M}$ to every braid. The representation variety of a link can then be described as the intersection of such Lagrangian submanifolds, given a braid presentation of the link. We expect this to go some way in explaining the similarities mentioned above.

研究动机与目标

• 解释链路补的 SU(2)-表示簇的上同调与 Khovanov 同调之间观察到的数值与结构相似性。
• 构建一个具有辫子群作用的辛流形，该作用保持其辛结构，并允许定义与辫子相关的拉格朗日子流形。
• 将链路的 SU(2)-表示簇实现为对应于链路辫子表示的拉格朗日子流形的交点。
• 通过在不变空间 $ J_C(L) $ 的连通分支上引入分次，为 Khovanov 同调中观察到的分次移位提供几何解释。

提出的方法

• 作者将辛流形 $ \mathscr{M} $ 定义为在具有 $ 2n $ 个穿孔的 2-球面上，其平联络的扩展模空间，其中单值群位于迹为零矩阵的共轭类 $ C $ 中。
• 他们证明辫子群 $ B_{2n} $ 通过在乘积空间 $ P_{2n} = C^{2n} $ 上的延拓作用于 $ \mathscr{M} $，并保持其辛结构。
• 对于每个 $ n $ 根辫子 $ \sigma $，构造一个拉格朗日子流形 $ \Gamma_\sigma \subset \mathscr{M} $，其中单位辫子定义了一个典范拉格朗日子流形 $ \Lambda $。
• 将作为辫子 $ \sigma $ 的闭包实现的链路 $ L $ 的表示簇 $ J_C(L) $ 识别为交点 $ \Lambda \cap \Gamma_\sigma $，利用辫子作用与辛约化。
• 通过在球面的双重覆盖上对行列式函数沿轮廓的绕数分析，计算了辛流形的第一陈类，得到 $ \langle f_*[\widetilde{\mathcal{S}}], c_1 \rangle = -2 $。
• 该计算确认了陈类的拓扑不变性，并支持了通过拉格朗日子流形交点构造链路不变量的几何方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 Khovanov 同调与 SU(2)-表示簇各连通分支的上同调之间观察到的同构关系，能否通过几何构造加以解释？
• RQ2 链路补的基本群表示空间上的辫子群作用，是否能实现为保持表示簇结构的辛作用？
• RQ3 链路的 SU(2)-表示簇能否被描述为具有辫子群对称性的辛流形中拉格朗日子流形的交点？
• RQ4 辛流形 $ \mathscr{M} $ 的第一陈类具有何种拓扑意义，它与 Khovanov 同调中的分次移位有何关系？

主要发现

• 对于所有不超过七阶的素链结及所有 (2,n)-环面链路，单重分次 Khovanov 同调 $ Kh^*(L) $ 同构于 $ J_C(L) $ 的连通分支的整上同调的直和，每个分支均发生整数 $ N_r $ 的分次移位，如公式 (1.1) 所述。
• 对于 (2,n)-环面链路，表示簇 $ J_C(T_{2,n}) $ 显式计算为 $ S^2 \cup \bigcup_{j=1}^{(n-1)/2} \mathbb{R}P^3 $，与 Khovanov 同调分量的拓扑类型一致。
• 作为具有 $ 2n $ 个穿孔的 2-球面上平 SU(2)-联络的扩展模空间实现的辛流形 $ \mathscr{M} $，支持一个保持其辛结构的辫子群作用。
• 通过在球面双重覆盖上对轮廓的行列式函数绕数分析，计算了 $ \mathscr{M} $ 的第一陈类，得到 $ \langle f_*[\widetilde{\mathcal{S}}], c_1 \rangle = -2 $，确认了典范丛的非平凡性。
• 与辫子 $ \sigma $ 关联的拉格朗日子流形 $ \Gamma_\sigma $ 被构造为使得交点 $ \Lambda \cap \Gamma_\sigma $ 恢复了表示簇 $ J_C(L) $，从而为链路不变量提供了辛实现。
• 该构造提供了一个几何框架，其中 Khovanov 同调中的分次移位可被解释为 $ J_C(L) $ 的分量上自然分次的结果，暗示了同调不变量具有更深层的拓扑根源。