[论文解读] Symplectomorphism groups and compatible complex structures on rational ruled surfaces

Miguel Abreu, Gustavo Granja+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文利用唐纳森框架研究了在有理规则曲面上，固定辛形式下与之相容的复结构空间的拓扑。通过与麦克杜夫对几乎复结构的结果进行比较，证明了相容复结构的空间是可缩的，从而为辛同胚群的拓扑提供了新见解，扩展了阿布雷与麦克杜夫的前期工作。

ABSTRACT

In this paper we study the topology of the space � � of complex structures compatible with a fixed symplectic form �, using the framework of Donaldson. By comparing our analysis of the space � � with results of McDuff on the space � � of compatible almost complex structures on rational ruled surfaces, we find that � � is contractible in this case. We then apply this result to study the topology of the symplectomorphism group of a rational ruled surface, extending results of Abreu and McDuff.

研究动机与目标

• 研究有理规则曲面上，固定辛形式下与之相容的复结构空间的拓扑。
• 应用唐纳森框架，理解该空间的结构，并与关于几乎复结构的现有结果相关联。
• 确立有理规则曲面情形下相容复结构空间的可缩性。
• 通过相容复结构空间的可缩性，扩展阿布雷与麦克杜夫关于有理规则曲面辛同胚群的前期结果。

提出的方法

• 利用唐纳森框架研究四维流形上的辛结构与复结构。
• 将相容复结构的空间与麦克杜夫分析的相容几乎复结构的空间进行比较。
• 采用拓扑技术分析复结构空间的同伦型。
• 借助关于相容几乎复结构空间同伦型的已知结果，推断复结构空间的性质。
• 应用形变理论与辛几何工具，关联有理规则曲面上的复结构与几乎复结构。
• 利用相容复结构空间的可缩性，推导辛同胚群的后果。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理规则曲面上，与固定辛形式相容的复结构空间是否可缩？
• RQ2 有理规则曲面上，相容复结构空间的拓扑与相容几乎复结构空间的拓扑相比如何？
• RQ3 相容复结构空间的可缩性对辛同胚群的拓扑有何影响？
• RQ4 能否利用相容复结构空间的可缩性，将关于有理规则曲面辛同胚群的结果进一步推广？
• RQ5 唐纳森框架在此情境下如何促进相容复结构的分析？

主要发现

• 有理规则曲面上，与固定辛形式相容的复结构空间是可缩的。
• 该可缩性结果源于将相容复结构空间与已知的相容几乎复结构空间同伦型进行比较。
• 可缩性表明在有理规则曲面相容复结构模空间中存在强烈的拓扑刚性。
• 该结果深化了对辛同胚群拓扑的理解，扩展了阿布雷与麦克杜夫的早期发现。
• 唐纳森框架的应用成功地将此几何设定下的辛结构与复结构联系起来。
• 该分析确认了相容复结构空间是单连通的，且高阶同伦群均为平凡。