[论文解读] SymSETs and self-dualities under gauging non-invertible symmetries

Da-Chuan Lu, Zhengdi Sun+1 more|ArXiv.org|Jan 14, 2025

Advanced Topics in Algebra被引用 4

一句话总结

本文提出一种通用方法，通过相对中心从 G-扩展的单合成范畴对称性中计算 SymSETs（对称性丰富的拓扑序），并分析在二维中对非可逆 0-形式对称性 量子化时的自对偶性，给出 Rep H8 与 Rep D8 的具体示例。

ABSTRACT

The self-duality defects under discrete gauging in a categorical symmetry $\mathcal{C}$ can be classified by inequivalent ways of enriching the bulk SymTFT of $\mathcal{C}$ with $\mathbb{Z}_2$ 0-form symmetry. The resulting Symmetry Enriched Topological (SET) orders will be referred to as $ extit{SymSETs}$ and are parameterized by choices of $\mathbb{Z}_2$ symmetries, as well as symmetry fractionalization classes and discrete torsions. In this work, we consider self-dualities under gauging $ extit{non-invertible}$ $0$-form symmetries in $2$-dim QFTs and explore their SymSETs. Unlike the simpler case of self-dualities under gauging finite Abelian groups, the SymSETs here generally admit multiple choices of fractionalization classes. We provide a direct construction of the SymSET from a given duality defect using its $ extit{relative center}$. Using the SymSET, we show explicitly that changing fractionalization classes can change fusion rules of the duality defect besides its $F$-symbols. We consider three concrete examples: the maximal gauging of $\operatorname{Rep} H_8$, the non-maximal gauging of the duality defect $\mathcal{N}$ in $\operatorname{Rep} H_8$ and $\operatorname{Rep} D_8$ respectively. The latter two cases each result in 6 fusion categories with two types of fusion rules related by changing fractionalization class. In particular, two self-dualities of $\operatorname{Rep} D_8$ related by changing the fractionalization class lead to $\operatorname{Rep} D_{16}$ and $\operatorname{Rep} SD_{16}$ respectively. Finally, we study the physical implications such as the spin selection rules and the SPT phases for the aforementioned categories.

研究动机与目标

• 在二维量子场论中利用 SymSETs 对在 gauging 非可逆 0-形式对称性时的自对偶缺陷进行分类。
• 给定 G-扩展范畴通过相对中心 ZC1(C) 直接构造 SymSET。
• 理解对称性分数化类的改变如何影响边界融合范畴的结构与融合规则。
• 将框架应用于具体示例（Rep H8 的极大与非极大 gauging，以及 Rep D8 的 gauging），提取物理意义（SPT、自旋规则）。
• 阐明何时 bulk G-对称性暗示 Morita 等价或对扩展范畴的群理论实现。

提出的方法

• 用相对中心 ZC1(C) 从 G-扩展范畴 C 构造 SymSET。
• 描述非平凡的分级分量如何在 bulk G 对称性中引入 twist 缺陷并确定其对简单任意粒子的作用。
• 计算对称性分数化类（H2(G,A)）和离散扭转（H3(G,U(1))）如何修改 F-符号以及可能的边界范畴的融合规则。
• 利用 Drinfeld 中心关系 Z(C) 与相对中心，将 bulk SymTFT 数据与边界融合范畴数据联系起来。
• 分析 Z(C1) 中的拉格朗日代数以推断 Morita 等价性及 gauging 之后可能的群理论实现。
• 在分数化类别变化时给出范畴变换的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称性分数化类别如何在对非可逆对称性进行 gauging 后改变对偶边界融合范畴的融合规则和 F 符号？
• RQ2 如何直接从给定的 G-扩展范畴利用相对中心计算出 SymSET？
• RQ3 在 SymSET 框架下，改变分数化类别在物理与范畴层面的后果（如自旋选择规则、SPT 相）是什么？
• RQ4 在具体示例（Rep H8 与 Rep D8）中，不同 bulk Z2 对称性和离散扭转下会产生多少个不同的融合范畴？
• RQ5 何时一个 G-扩展范畴会与群理论的 VecωΓ 构造在 Morita 上等价？

主要发现

• 通过相对中心 ZC1(C)，从 G-扩展范畴 C 可直接构造出 SymSET。
• 改变对称性分数化类别不仅会改变 F-符号，还可能改变对偶缺陷的融合规则。
• 三个具体示例（Rep H8 的极大 gauging、Rep H8 的非极大 gauging、Rep D8 的非极大 gauging）产生多个不等价的边界融合范畴，这些范畴通过分数化选择相互关联。
• 在示例 II（Rep H8）中，两个 bulk Z2 对称性选择和两种离散扭转产生四个具有 I 型与 II 型融合规律的范畴；改变分数化类别可以在它们之间切换。
• 在示例 III（Rep D8）中得到六个范畴，可通过自旋选择规则区分；其中一些是群理论的，与 D16 与 SD16 异常相关。
• 该框架将 SymSET 数据与物理层面的 SPT 相及潜在的 igSPT（本质上无缝隙的 SPT）行为联系起来。