[论文解读] Synchronization and Control for Multi-Weighted and Directed Complex Networks

Xiwei Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2021

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过将归一化左特征向量（NLEVec）的使用推广至有界切比雪夫距离内的任意向量，提出了一种针对多权值有向复杂网络的新型同步与控制框架。证明了当NLEVec与参考向量之间的偏差在定义范围内时，通过足够大的耦合强度可实现同步，从而支持自适应控制，并实现比单权值网络更快的同步速度。

ABSTRACT

The study of complex networks with multi-weights has been a hot topic recently. For a network with a single weight, previous studies have shown that they can promote synchronization. But for complex networks with multi-weights, there are no rigorous analysis to show that synchronization can be reached faster. In this paper, the complex network is allowed to be directed, which will make the synchronization analysis difficult for multiple couplings. In virtue of the normalized left eigenvectors (NLEVec) corresponding to the zero eigenvalue of coupling matrices, we prove that if the Chebyshev distance between NLEVec is less than some value, which is defined as the allowable deviation bound, then the synchronization and control will be realized with sufficiently large coupling strengths, i.e., all coupling matrices do accelerate synchronization. Moreover, adaptive rules are also designed for the coupling strength.

研究动机与目标

• 解决多权值网络（CNMWs）在耦合矩阵非对称时是否能比单权值网络实现更快同步的严谨分析缺失问题。
• 将经典的基于NLEVec的同步框架推广至任意归一化正向量，前提是其与真实NLEVec的切比雪夫距离在定义范围内。
• 为具有多个耦合矩阵的有向CNMWs设计统一的同步与控制策略，即使耦合矩阵为非对称矩阵亦适用。
• 设计自适应耦合强度规则，确保在牵制控制下实现指数同步。
• 证明多权值有向网络相比单权值网络可加速同步。

提出的方法

• 引入两个新边界：同步边界允许偏差（ADSB）与控制边界允许偏差（ADCB），用于定义参考向量与真实NLEVec之间允许的最大切比雪夫距离，以保证有效的同步分析。
• 通过定义由归一化正向量θ表示的虚拟目标节点，将节点间同步转化为节点与虚拟节点之间的同步，从而支持李雅普诺夫函数的构建。
• 定义修正的耦合矩阵 $ G_{ heta} = [( heta heta^T - heta heta^T)G + G^T( heta heta^T - heta heta^T)]/2 $，并证明若该矩阵在横向空间中为负定，则可实现同步。
• 对于具有两个耦合矩阵的网络，通过构造个体NLEVec的凸组合 $ heta = \nu^1 \theta^1 + \nu^2 \theta^2 $ 来定义用于同步分析的公共参考向量。
• 提出自适应耦合强度规则 $ \frac{dc(t)}{dt} = \frac{\beta}{2} \theta_i \norm{z_i(t) - z(t)}^2 $，确保在牵制控制下实现收敛。
• 应用李雅普诺夫稳定性理论，基于变换后耦合矩阵的最大特征值与内部矩阵增益，推导出实现指数同步的充分条件。

Figure 1: Synchronization dynamics under one or two coupling

实验结果

研究问题

• RQ1 当耦合矩阵为非对称且每个矩阵均有独立NLEVec时，能否严格证明具有多个耦合矩阵的有向复杂网络实现同步？
• RQ2 是否可以放宽仅使用真实NLEVec进行同步分析的要求，转而使用与真实NLEVec在有界偏差范围内的任意归一化正向量？
• RQ3 能否从不同耦合矩阵的多个NLEVec中构造出一个公共参考向量，以实现多权值网络的同步？
• RQ4 在有向网络中使用多个耦合矩阵是否能导致比单权值网络更快的同步速度？
• RQ5 能否设计出自适应耦合强度规则，以确保在牵制控制下多权值有向网络实现指数同步？

主要发现

• 本文证明，若归一化正向量θ与耦合矩阵真实NLEVec之间的切比雪夫距离小于ADSB边界，则θ可用于证明同步，从而推广了经典的基于NLEVec的同步方法。
• 对于具有两个耦合矩阵的有向多权值网络，若两个NLEVec之间的最大元素差值被限制在各自ADCB值之和范围内，则可保证实现指数同步。
• 若权重 $ \nu^1, \nu^2 $ 满足推导出的边界条件，则两个NLEVec的凸组合 $ \theta = \nu^1 \theta^1 + \nu^2 \theta^2 $ 可用作同步分析的公共参考向量。
• 自适应耦合强度规则 $ \frac{dc(t)}{dt} = \frac{\beta}{2} \theta_i \norm{z_i(t) - z(t)}^2 $ 确保仅当同步误差持续存在时耦合强度才增加，从而实现指数收敛。
• 理论分析证实，多权值有向网络可实现比单权值网络更快的同步速度，因为多条耦合路径增强了网络连通性与收敛速度。
• 条件 $ L_h + c \frac{1}{\theta_{\text{max}}} \big( \nu^1 \tilde{\theta}^1 + \nu^2 \tilde{\theta}^2 \big) < 0 $ 确保在牵制控制下实现指数同步，其中 $ \tilde{\theta}^m $ 为变换后耦合矩阵的最大特征值。

Figure 2: Sketch of vector $\theta$ as the weighted addition of vectors $\xi^{1}$ and $\xi^{2}$