[论文解读] Synchronization in iterated function systems

Ale Jan Homburg|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用 12

一句话总结

本文通过由移位算子驱动的斜积动力系统，在紧致流形上的迭代函数系（IFS）中建立了同步性。在传递性和负纤维李雅普诺夫指数条件下，证明了唯一吸引不变图的存在，解释了同步机制；对于有限IFS，进一步表明存在一个开集类，其具有全支撑不变测度、伯努利边缘分布以及负纤维指数。

ABSTRACT

We treat synchronization for iterated function systems on compact manifolds in two cases:(i) iterated function systems generated by random diffeomorphisms with absolutely continuous parametric noise,(ii) iterated function systems generated by finitely many diffeomorphisms. Synchronization is the convergence of orbits starting at different initial conditions when iterated by the same sequence of diffeomorphisms. The iterated function systems admit a description as skew product systems of diffeomorphisms on compact manifolds driven by shift operators. Under open conditions including transitivity and negative fiber Lyapunov exponents, we prove the existence of a unique attracting invariant graph for the skew product system. This explains the occurrence of synchronization. For skew product systems arising from iterated function systems generated by finitely many diffeomorphisms we have the following additional statements. Recent work by Bochi, Bonatti and D\'{\i}az establishes the existence of an open class of such skew product systems that admit invariant measures of full support with zero fiber Lyapunov exponents. Our results imply the existence of an open class of skew product systems that simultaneously admit an invariant measure of full support, Bernoulli measure as marginal, and negative fiber Lyapunov exponents.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，紧致流形上的迭代函数系表现出同步性，定义为在相同微分同胚序列作用下轨道的收敛性。
• 利用斜积系统分析由具有绝对连续参数噪声的随机微分同胚生成的IFS的动力行为。
• 研究由有限个微分同胚生成的有限IFS，识别全支撑不变测度、伯努利边缘分布与负纤维李雅普诺夫指数共存的条件。
• 通过展示一个开类系统同时具备负纤维指数与全支撑不变测度，拓展了近期关于零纤维李雅普诺夫指数结果的研究。

提出的方法

• 将迭代函数系建模为在紧致流形上的移位空间上定义的微分同胚的斜积系统。
• 应用包括传递性和负纤维李雅普诺夫指数在内的开条件，证明唯一吸引不变图的存在性。
• 利用遍历理论与纤维动力系统分析斜积设定下不变测度的结构。
• 借助Bochi、Bonatti与Díaz关于全支撑不变测度与零纤维李雅普诺夫指数的最新结果，构造具有负指数的系统。
• 证明负纤维李雅普诺夫指数与全支撑不变测度的共存性在某一类有限IFS中是开集且典型成立。
• 证明不变测度的边缘分布为伯努利分布，从而将随机行为与确定性动力系统联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有绝对连续参数噪声的随机微分同胚生成的迭代函数系中，同步性在何种条件下发生？
• RQ2 从紧致流形上IFS导出的斜积系统中，特定的动力结构——特别是不变图——如何出现？
• RQ3 是否存在一个有限迭代函数系的开类，其同时具备全支撑不变测度与负纤维李雅普诺夫指数？
• RQ4 此类系统是否可能同时拥有全支撑不变测度、伯努利边缘分布与负纤维李雅普诺夫指数？
• RQ5 传递性、纤维李雅普诺夫指数与不变测度之间的相互作用如何解释IFS中的同步性？

主要发现

• 在传递性与负纤维李雅普诺夫指数条件下，斜积系统存在唯一吸引不变图，该结构解释了IFS中同步的机制。
• 对于由具有绝对连续参数噪声的随机微分同胚生成的IFS，同步性源于该唯一吸引不变图的存在。
• 在有限IFS情形下，Bochi、Bonatti与Díaz已证明存在一个开类的斜积系统，其具有全支撑不变测度与零纤维李雅普诺夫指数。
• 本文进一步证明，在同一开类中，存在系统具备负纤维李雅普诺夫指数与全支撑不变测度。
• 此外，此类系统同时具备伯努利测度作为不变测度的边缘分布，表明其具有随机混合行为。
• 结果证实，同步性在一类典型有限IFS中具有鲁棒性，其特征为负纤维指数、全支撑不变测度与伯努利边缘分布的共存。