[论文解读] Synchronization Strings: List Decoding for Insertions and Deletions

Bernhard Haeupler, Amirbehshad Shahrasbi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

DNA and Biological Computing被引用 16

一句话总结

本文引入同步字符串，以实现可列表译码的插入删除码，可在常数字母表大小和次对数列表大小下纠正任意比例的插入和删除错误，且码率接近容量。证明了插入不会降低码率（与删除不同），并表明为达到容量，字母表大小必须随与容量的差距呈指数增长，揭示了错误鲁棒性中的根本不对称性。

ABSTRACT

We study codes that are list-decodable under insertions and deletions. Specifically, we consider the setting where a codeword over some finite alphabet of size $q$ may suffer from $δ$ fraction of adversarial deletions and $γ$ fraction of adversarial insertions. A code is said to be $L$-list-decodable if there is an (efficient) algorithm that, given a received word, reports a list of $L$ codewords that include the original codeword. Using the concept of synchronization strings, introduced by the first two authors [STOC 2017], we show some surprising results. We show that for every $0\leqδ<1$, every $0\leqγ0$ there exist efficient codes of rate $1-δ-ε$ and constant alphabet (so $q=O_{δ,γ,ε}(1)$) and sub-logarithmic list sizes. We stress that the fraction of insertions can be arbitrarily large and the rate is independent of this parameter. Our result sheds light on the remarkable asymmetry between the impact of insertions and deletions from the point of view of error-correction: Whereas deletions cost in the rate of the code, insertion costs are borne by the adversary and not the code! We also prove several tight bounds on the parameters of list-decodable insdel codes. In particular, we show that the alphabet size of insdel codes needs to be exponentially large in $ε^{-1}$, where $ε$ is the gap to capacity above. Our result even applies to settings where the unique-decoding capacity equals the list-decoding capacity and when it does so, it shows that the alphabet size needs to be exponentially large in the gap to capacity. This is sharp contrast to the Hamming error model where alphabet size polynomial in $ε^{-1}$ suffices for unique decoding and also shows that the exponential dependence on the alphabet size in previous works that constructed insdel codes is actually necessary!

研究动机与目标

• 确定在列表译码且列表大小有界条件下，插入删除码可达到的最大码率。
• 研究在存在插入和删除时，码率、字母表大小与列表大小之间的权衡。
• 理解插入删除码的根本极限，特别是字母表大小在实现高码率中的作用。
• 揭示插入与删除在码率和字母表大小影响上的根本不对称性。
• 证明插入不会对码率造成惩罚，而删除会。

提出的方法

• 引入同步字符串作为结构化工具，以实现插入和删除的高效列表译码。
• 使用随机编码论证，证明对任意 δ<1 和 γ≥0，存在码率 1−δ−ε 的码，且字母表大小恒定、列表大小为次对数。
• 通过所有可能被污染的码字应用切尔诺夫不等式和联合界，控制列表大小超过 L(n) 的概率。
• 证明为实现码率 1−δ−ε，字母表大小必须在 ε−1 上呈指数增长，其中 ε 为与容量的差距。
• 利用插入不会降低码率的事实，因为插入由攻击者承担，而非码本身。
• 使用同步字符串构建高效的多项式时间编码和译码算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个 δ<1、γ≥0 和 ε>0，能够纠正 δ 比例删除和 γ 比例插入、且列表大小为 L(n) 的插入删除码的最大码率 R 是多少？
• RQ2 插入删除码能否在仅使用常数大小字母表的情况下实现接近容量的码率？
• RQ3 在可列表译码的插入删除码中，字母表大小如何随与容量的差距变化？
• RQ4 为何插入不会降低码率，而删除会？
• RQ5 先前构造中字母表大小的指数依赖是否必要，还是可以避免？

主要发现

• 对每个 δ<1、γ≥0 和 ε>0，均存在码率 1−δ−ε、字母表大小恒定、列表大小为次对数的插入删除码。
• 此类码的字母表大小必须在 ε−1 上呈指数增长，表明先前的指数依赖是必要的。
• 插入不会降低码率；只有删除影响码率，凸显了错误鲁棒性中的根本不对称性。
• 唯一可译码的插入删除码的码率最多为 1−(δ+γ)，但列表译码允许在插入比例任意大的情况下，码率仍可接近 1−δ。
• 随机编码论证表明，码率 R < 1−log_q(γ+1)−γ log_q((γ+1)/γ)−(γ+1)/(l+1) 的码以高概率可列表译码。
• 结果表明，汉明模型严格弱于插入删除模型，因为单个汉明错误等价于一次插入和一次删除，但插入删除码可在不损失码率的情况下容忍更多插入。