[论文解读] Synchronizing Deterministic Push-Down Automata Can Be Really Hard

Henning Fernau, Petra Wolf+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

semigroups and automata theory被引用 2

一句话总结

本文研究了确定性下推自动机（DPDA）同步的复杂性，证明了一般DPDA的可同步性是不可判定的，甚至对于确定性计数器自动机和一次转向下推自动机也是如此。然而，当结合多种限制条件（如有限转向和有界栈行为）时，问题变为PSPACE完全问题；而部分盲计数器自动机则表现出可判定的可同步性，凸显了自动机同步中可判定性与不可判定性之间的清晰边界。

ABSTRACT

The question if a deterministic finite automaton admits a software reset in the form of a so-called synchronizing word can be answered in polynomial time. In this paper, we extend this algorithmic question to deterministic automata beyond finite automata. We prove that the question of synchronizability becomes undecidable even when looking at deterministic one-counter automata. This is also true for another classical mild extension of regularity, namely that of deterministic one-turn push-down automata. However, when we combine both restrictions, we arrive at scenarios with a PSPACE-complete (and hence decidable) synchronizability problem. Likewise, we arrive at a decidable synchronizability problem for (partially) blind deterministic counter automata. There are several interpretations of what synchronizability should mean for deterministic push-down automata. This is depending on the role of the stack: should it be empty on synchronization, should it be always the same or is it arbitrary? For the automata classes studied in this paper, the complexity or decidability status of the synchronizability problem is mostly independent of this technicality, but we also discuss one class of automata where this makes a difference.

研究动机与目标

• 确定确定性下推自动机（DPDA）可同步性问题的计算复杂性，超越有限自动机的范畴。
• 分析不同栈语义（同步时栈为空、相同或任意内容）对可判定性和复杂性的影响。
• 识别DPDA的子类，使其可同步性变为可判定，特别关注有限转向或计数器模型等结构限制。
• 在自动机理论中确立可判定与不可判定同步问题之间的分界线，尤其针对下推自动机和计数器自动机。
• 探索可同步性与已知可判定问题之间的联系，例如具有可判定包含关系的自动机类（如NTS语言）。

提出的方法

• 通过从Post对应问题（PCP）归约，证明DPDA及其相关子类的可同步性不可判定。
• 构造一个模拟PCP实例的确定性下推自动机，使得当且仅当PCP有解时存在同步词。
• 将自动机构造方法适配到序列转换器，证明通过输出模拟实现的迹同步问题是不可判定的。
• 使用多项式空间算法验证在栈约束（如相同栈内容）下的可同步性，表明受限类别的PSPACE成员关系。
• 分析不同同步模型下栈的行为：栈为空、相同或任意内容，表明复杂性在很大程度上与栈语义无关。
• 利用有限自动机中的已知复杂性结果（如短同步词问题的NP完全性）来界定长度有界的变体的复杂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 确定性计数器自动机的可同步性问题是可判定的吗？
• RQ2 确定性一次转向下推自动机的可同步性复杂度是多少？
• RQ3 将有限转向与有界栈约束结合，是否能使DPDA的可同步性问题变为可判定？
• RQ4 栈语义的选择（为空、相同或任意）如何影响同步的可判定性与复杂性？
• RQ5 可同步性的不可判定性是否可扩展到DPDA的其他子类，如盲计数器或部分盲计数器自动机？

主要发现

• 一般确定性下推自动机的可同步性是不可判定的，即使限制在计数器自动机或一次转向下推自动机中也是如此。
• 当限制在有限转向DPDA时，问题变为PSPACE完全，表明其为可判定但计算上困难的问题。
• 对于部分盲确定性计数器自动机，可同步性是可判定的，与更一般模型中的不可判定性形成鲜明对比。
• 可同步性问题的复杂性在很大程度上与栈语义无关——无论同步时栈必须为空、相同或任意内容，复杂性基本不变。
• 序列转换器的迹同步问题是不可判定的，通过基于PCP的归约证明，该归约通过输出生成模拟栈操作。
• 当长度界限以一进制给出时，DPDA的长度有界同步问题变体为NP完全；当以二进制给出时，复杂度为EXPTIME，表明在长度约束下复杂性从不可判定降至可行。