[论文解读] Syntactic Complexity of Star-Free Languages

Janusz Brzozowski, Baiyu Li|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2011

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本论文研究了无星号正则语言的短语结构复杂度——即仅使用并集、补集和连接操作定义的语言。论文引入了'近似单调'自动机作为一类子集，能够捕捉无星号语言，并为这类自动机建立了紧致的上界，推测该上界对所有商复杂度 $ n \geq 2 $ 的无星号语言均成立。

ABSTRACT

The syntactic complexity of a regular language is the cardinality of its syntactic semigroup. The syntactic complexity of a subclass of regular languages is the maximal syntactic complexity of languages in that subclass, taken as a function of the state complexity of these languages. We study the syntactic complexity of star-free regular languages, that is, languages that can be constructed from finite languages using union, complement and concatenation. We find tight upper bounds on the syntactic complexity of languages accepted by monotonic and partially monotonic automata. We introduce "nearly monotonic" automata, which accept star-free languages, and find a tight upper bound on the syntactic complexity of languages accepted by such automata. We conjecture that this bound is also an upper bound on the syntactic complexity of star-free languages.

研究动机与目标

• 确定无星号正则语言的短语结构复杂度，即给定商复杂度下，其短语结构半群的最大大小。
• 分析无星号语言的子类——单调、部分单调和近似单调自动机，其中短语结构复杂度可被界定。
• 推测所有无星号语言的短语结构复杂度均被近似单调自动机的上界所限制。
• 通过精确计数和使用 GAP 的计算验证，为该推测提供证据，适用于小状态复杂度的情形。
• 将无星号语言的短语结构复杂度与一般正则语言的 $ n^n $ 上界进行对比。

提出的方法

• 将短语结构复杂度定义为语言的短语结构半群的基数，该半群由最小化 DFA 的 Myhill 等价关系和变换幺半群导出。
• 引入'近似单调'自动机：即除一个状态外，所有转移均单调的确定性有限自动机，从而实现对非周期性（无计数器）行为的受控分析。
• 使用无冲突变换分析方法，界定短语结构半群中有效非周期性变换的数量，特别针对 $ n = 3 $ 的情形，利用图论约束。
• 通过 GAP 进行计算枚举，验证小 $ n $ 情形下短语结构复杂度的紧致上界，特别是 $ \mathcal{T}_Q $（$ n $ 个状态上的完整变换半群）的非周期性子半群。
• 通过组合论证推导上界，分析无冲突输入集合的数量以及无置换变换的结构。
• 比较不同子类的上界：单调（$ f(n) = \binom{2n-2}{n-1} $）、部分单调（$ g(n-1) = |PM_{Q'}| $）和近似单调（$ h(n) = |PM_{Q'}| + n - 1 $）

实验结果

研究问题

• RQ1 商复杂度为 $ n $ 的无星号语言的最大短语结构复杂度是多少？
• RQ2 无星号语言的短语结构复杂度是否可以比一般正则语言的 $ n^n $ 上界更紧致地界定？
• RQ3 近似单调自动机是否捕捉了无星号语言的最坏情况短语结构复杂度？
• RQ4 无星号语言的短语结构复杂度是否被 $ h(n) = |PM_{Q'}| + n - 1 $ 限制，其中 $ PM_{Q'} $ 是在 $ n-1 $ 个状态上的部分单调变换集合？
• RQ5 在哪些字母表和状态数下，该推测上界是紧致的？与其它子类的已知上界相比如何？

主要发现

• 无星号语言的短语结构复杂度严格小于一般正则语言的 $ n^n $ 上界。
• 对于 $ n = 3 $，任何无星号语言的短语结构复杂度至多为 10，且该上界是紧致的，经由对无冲突变换的穷举枚举确认。
• 论文为近似单调自动机建立了紧致上界 $ h(n) = |PM_{Q'}| + n - 1 $，推测该值即为所有无星号语言的最大短语结构复杂度。
• 该上界 $ h(n) $ 与 $ n = 2 $ 至 $ n = 6 $ 的已知值一致，并通过 GAP 计算验证了 $ n \leq 6 $ 时的紧致性，其中 $ h(6) = 1007 $。
• 该上界 $ h(n) $ 严格小于较弱的上界 $ (n+1)^{n-1} $，且远小于 $ n^n $，表明无星号语言的复杂度显著降低。
• 已证明 $ f(n) = \binom{2n-2}{n-1} $、$ g(n-1) = |PM_{Q'}| $ 和 $ h(n) $ 分别为单调、部分单调和近似单调情形的紧致上界，其中 $ h(n) $ 为核心推测上界。