[论文解读] Syntactic Interpolation for Tense Logics and Bi-Intuitionistic Logic via Nested Sequents

Tim S. Lyon, Alwen Tiu+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的纯句法方法，用于在时态逻辑和双直觉逻辑中证明Craig插值，采用嵌套 sequent 演算。通过将插值式推广为 sequent 集合，并引入基于 cut 的对偶性正交性条件，该方法直接从证明中构造插值式及其推导，避免了语义嵌入或外部连接词。关键贡献是一种基于 cut 的对偶机制，确保正确性并实现 PTIME 内的高效验证。

ABSTRACT

We provide a direct method for proving Craig interpolation for a range of modal and intuitionistic logics, including those containing a "converse" modality. We demonstrate this method for classical tense logic, its extensions with path axioms, and for bi-intuitionistic logic. These logics do not have straightforward formalisations in the traditional Gentzen-style sequent calculus, but have all been shown to have cut-free nested sequent calculi. The proof of the interpolation theorem uses these calculi and is purely syntactic, without resorting to embeddings, semantic arguments, or interpreted connectives external to the underlying logical language. A novel feature of our proof includes an orthogonality condition for defining duality between interpolants.

研究动机与目标

• 开发一种通用的、纯句法的方法，用于在缺乏标准 Gentzen 风格 sequent 演算的逻辑中证明 Craig 插值，例如时态逻辑和双直觉逻辑。
• 克服先前依赖语义或嵌入方法的局限性，这些方法依赖于外部连接词或 Kripke 语义。
• 提供一种直接的证明论构造方法，用于生成插值式，同时生成 A ⇒ C 和 C ⇒ B 的推导。
• 建立通过 cut 和收缩实现的插值式之间的对偶机制，以实现多项式时间内的正确性验证。

提出的方法

• 将插值式从单个公式推广为 sequent 集合，使嵌套 sequent 框架中的插值更具灵活性和结构性。
• 在插值式集合之间引入正交性条件，通过 cut 和收缩实现对偶性，确保从插值式与其正交补集的并集中可推导出空 sequent。
• 使用无 cut 的嵌套 sequent 演算作为证明系统，其规则针对反向模态词和双直觉连接词（如 ⊃ 和 −<）进行定制。
• 通过专门的演算（BiIntLI）定义插值式，该演算通过追踪 sequent 间标签出现和变量依赖关系来构建插值式。
• 利用持久性与对偶性引理，确保插值式在推导过程中尊重变量共享和逻辑一致性。
• 将该方法应用于经典时态逻辑、其路径公理扩展以及双直觉逻辑，证明其通用性与鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不依赖语义或外部连接词，在时态逻辑和双直觉逻辑中通过句法方法证明 Craig 插值？
• RQ2 如何将插值式从单个公式推广到 sequent 集合，同时保持正确性与可推导性？
• RQ3 正交性在定义插值式之间对偶性时起什么作用？它如何实现基于 cut 的验证？
• RQ4 该方法能否直接从 A ⇒ B 的原始证明中构造出 A ⇒ C 和 C ⇒ B 的推导？
• RQ5 该方法是否具备可扩展性和高效性，特别是在验证复杂度方面？

主要发现

• 该方法成功地仅通过嵌套 sequent 演算中的句法推导，证明了经典时态逻辑及其路径公理扩展的 Craig 插值。
• 引入插值式集合之间的正交性，实现了对偶机制，使得仅通过 cut 和收缩即可推导出空 sequent，从而确保正确性。
• 该方法直接从 A ⇒ B 的证明中构造出插值式 C 以及 A ⇒ C 和 C ⇒ B 的推导，支持 PTIME 验证。
• 该方法避免了语义嵌入、解释连接词或 Kripke 语义，因此适用于缺乏明显 Kripke 模型的逻辑，例如双直觉线性逻辑。
• 持久性与对偶性引理确保插值式尊重变量共享与标签依赖关系，维持逻辑一致性。
• 该框架具有可推广性，可通过类似的正交性原理扩展至其他逻辑，包括双直觉线性逻辑。