[论文解读] Syntax for Split Preorders

Kosta Došen, Zoran Petrić|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过生成元与等式，以短语形式对分裂预序（SplPre）、分裂等价关系（Gen）和二元关系（Rel）的范畴进行了语法公理化，确立了其范畴框架内的代数结构——Gen 中的弗罗贝尼乌斯代数与 Rel 中的双代数。主要贡献在于通过正规形式证明了完备性，表明任何新增等式都会使系统坍缩为平凡结构，从而证明了所提出的等式理论的极大性。

ABSTRACT

A split preorder is a preordering relation on the disjoint union of two sets, which function as source and target when one composes split preorders. The paper presents by generators and equations the category SplPre, whose arrows are the split preorders on the disjoint union of two finite ordinals. The same is done for the subcategory Gen of SplPre, whose arrows are equivalence relations, and for the category Rel, whose arrows are the binary relations between finite ordinals, and which has an isomorphic image within SplPre by a map that preserves composition, but not identity arrows. It was shown previously that SplPre and Gen have an isomorphic representation in Rel in the style of Brauer. The syntactical presentation of Gen and Rel in this paper exhibits the particular Frobenius algebra structure of Gen and the particular bialgebraic structure of Rel, the latter structure being built upon the former structure in SplPre. This points towards algebraic modelling of various categories motivated by logic, and related categories, for which one can establish coherence with respect Rel and Gen. It also sheds light on the relationship between the notions of Frobenius algebra and bialgebra. The completeness of the syntactical presentations is proved via normal forms, with the normal form for SplPre and Gen being in some sense orthogonal to the composition-free, i.e. cut-free, normal form for Rel. The paper ends by showing that the assumptions for the algebraic structures of SplPre, Gen and Rel cannot be extended with new equations without falling into triviality.

研究动机与目标

• 通过生成元与等式，提供有限序数上分裂预序的范畴 SplPre 的语法表述。
• 证明分裂等价关系的子范畴 Gen 和二元关系范畴 Rel 可在 SplPre 中实现同构嵌入，保持复合运算但不保持单位箭头。
• 揭示 SplPre 框架下隐藏的代数结构——Gen 中的弗罗贝尼乌斯代数与 Rel 中的双代数结构。
• 通过正规形式证明语法表述的完备性，区分 SplPre/Gen 与 Rel 的无切割正规形式。
• 证明 SplPre、Gen 和 Rel 的等式理论是极大化的：任何非平凡等式都无法被添加而不导致系统坍缩为平凡结构。

提出的方法

• 将 SplPre 定义为对象为有限序数、箭头为源集与目标集不交并上的分裂预序的范畴。
• 使用一组生成元（如 !, ¡, ∇, ∆）和等式公理（包括弗罗贝尼乌斯律与双代数律）来呈现 SplPre、Gen 和 Rel。
• 通过保持结构的映射，建立 Gen 与等价关系范畴之间的同构，以及 Rel 与 SplPre 的子范畴之间的同构。
• 为 SplPre 和 Gen 中的箭头项构造正规形式，该形式与 Rel 的无切割正规形式正交，以证明完备性。
• 利用 SplPre 与 Gen 之间、Gen 与 Rel 之间的同构，实现在不同范畴间传递等式推理。
• 通过证明任何在相应范畴中不可导的非可导等式都会导致系统坍缩为平凡结构（例如 1₁ = 0₁,₁），从而证明其极大性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过生成元与等式，对有限序数上的分裂预序范畴进行语法公理化？
• RQ2 分裂等价关系（Gen）范畴的底层代数结构是什么？它与弗罗贝尼乌斯代数有何关系？
• RQ3 在 SplPre 框架内，如何从 Gen 的弗罗贝尼乌斯结构构建二元关系（Rel）的双代数结构？
• RQ4 SplPre 和 Gen 的正规形式具有何种意义？它与 Rel 的无切割正规形式有何不同？
• RQ5 能否在不导致系统坍缩为平凡结构的前提下，向 SplPre、Gen 和 Rel 的等式理论中添加新的非平凡等式？

主要发现

• 通过存在唯一表示每个箭头项的正规形式，证明了 SplPre、Gen 和 Rel 的语法表述是完备的。
• 范畴 Gen 携带弗罗贝尼乌斯代数结构，生成元 !, ¡, ∇, ∆ 满足弗罗贝尼乌斯恒等式。
• 范畴 Rel 携带双代数结构，该结构建立在 Gen 的弗罗贝尼乌斯结构之上，双代数律由 SplPre 中的复合与对偶性导出。
• SplPre 和 Gen 的正规形式与 Rel 的无切割正规形式正交，表明在证明表示上存在根本的语法差异。
• 任何试图添加在 SplPre、Gen 或 Rel 中不可导的新等式，都会导致系统坍缩为平凡结构（具体为 1₁ = 0₁,₁），从而证明了等式理论的极大性。
• Rel 在 SplPre 中的同构像保持复合运算但不保持单位箭头，凸显了 Rel 中的单位与 SplPre 中的单位之间的结构差异。