[论文解读] Synthesis of anisotropic suboptimal controllers by convex optimization
本文提出了一种基于凸优化的方法，用于在存在随机不确定性且扰动分布不精确已知的情况下，为离散时间线性系统合成各向异性的次优及γ-最优控制器。通过使用行列式不等式和互逆矩阵线性矩阵不等式（LMIs）重新表述固定阶控制器设计问题，该方法在全信息状态反馈、全阶输出反馈以及特定静态输出反馈情况下实现了凸性，从而实现了无需同伦算法的高效计算，同时平衡了H₂与H∞性能之间的权衡。
This paper considers a disturbance attenuation problem for a linear discrete time invariant system under random disturbances with imprecisely known probability distributions. The statistical uncertainty is measured in terms of relative entropy using the mean anisotropy functional. The disturbance attenuation capabilities of the system are quantified by the anisotropic norm which is a stochastic counterpart of the H-infinity norm. The designed anisotropic suboptimal controller generally is a dynamic fixed-order output-feedback compensator which is required to stabilize the closed-loop system and keep its anisotropic norm below a prescribed threshold value.
研究动机与目标
- 解决在扰动分布不精确已知的随机不确定性下，H₂与H∞控制器的局限性。
- 开发一种次优控制器设计框架，将各向异性的范数保持在预设阈值以下，以确保对统计不确定性的鲁棒性。
- 通过凸优化实现固定阶控制器合成，避免求解复杂耦合的非线性矩阵方程系统。
- 提供一种灵活的设计流程，允许在各向异性的范数约束之外施加额外的性能规范。
提出的方法
- 将扰动抑制问题表述为以各向异性的范数作为H∞范数的随机对应量，量化在统计不确定性下的性能表现。
- 提出一种通用的固定阶合成方法，涉及对正定矩阵的行列式不等式以及两个关于互逆矩阵的线性矩阵不等式（LMIs）。
- 应用标准凸化技术，将非凸优化问题转化为凸问题，适用于特定控制器结构：全信息状态反馈、全阶输出反馈，以及在特定系统结构条件下适用的静态输出反馈。
- 通过最小化平方范数阈值值并满足凸约束来求解所得的凸优化问题，从而获得γ-最优控制器。
- 采用标准内点算法实现高效数值求解，避免使用专门的同伦类计算方法。
- 通过在一架飞机模型（AC1）上的仿真验证了该方法，比较了各向异性、H₂与H∞控制器在性能与鲁棒性方面的表现。
实验结果
研究问题
- RQ1是否可以将各向异性次优控制器合成问题表述为固定阶控制器的凸优化问题？
- RQ2在随机不确定性下，与现有H₂和H∞控制器设计相比，该方法在性能与计算复杂度方面表现如何？
- RQ3在系统与控制器的何种结构条件下，可将非凸的固定阶合成问题凸化？
- RQ4各向异性控制器在多大程度上实现了H₂与H∞性能之间的平衡权衡？
- RQ5所提出的方法是否能够避免求解耦合Riccati方程或基于同伦算法的计算复杂度？
主要发现
- 各向异性γ-最优静态输出反馈控制器在前向速度、俯仰角、俯仰率和垂直速度的最大绝对偏差方面均低于H₂与H∞对应控制器。
- H₂ γ-最优控制器在受控输出中的最大绝对偏差最差，证实其对相关扰动的敏感性。
- 各向异性控制器产生的控制信号最大振幅最小，表明执行器效率更高且磨损更小。
- 最小γ值满足γ₂ < γₐ < γ∞，证实了不同控制器类型之间的层次化性能排序。
- 仿真结果表明，各向异性控制器实现了次优性能，且‖TZW‖₀.₉ < γₐ，H₂与H∞控制器也如预期般为次优。
- 各向异性控制器的CPU运行时间为0.81秒，显著快于H∞控制器的3.04秒，证明了其计算效率。
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