[论文解读] Systematic Measures of Biological Networks, Part I: Invariant measures and Entropy

Yao Li, Yingfei Yi|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文通过随机微分方程为生物网络中的退化性、复杂性和鲁棒性提供了数学基础。研究表明，福克-普朗克方程平稳测度的微分熵在极限下收敛于与全局吸引子维度成比例的值，且熵的极限除以 log ε 等于 n−d，其中 d 为吸引子维度，n 为环境维度。

ABSTRACT

This paper is Part I of a two-part series devoting to the study of systematic measures in a complex biological network modeled by a system of ordinary differential equations. As the mathematical complement to our previous work [31] with collaborators, the series aims at establishing a mathematical foundation for characterizing three important systematic measures: degeneracy, complexity and robustness, in such a biological network and studying connections among them. To do so, we consider in Part I stationary measures of a Fokker-Planck equation generated from small white noise perturbations of a dissipative system of ordinary differential equations. Some estimations of concentration of stationary measures of the Fokker-Planck equation in the vicinity of the global attractor are presented. Relationship between differential entropy of stationary measures and dimension of the global attractor is also given.

研究动机与目标

• 为基于常微分方程建模的生物网络系统性地建立退化性、复杂性和鲁棒性的严格数学框架。
• 解决退化性这一系统生物学核心概念在理论分析与进化框架上的缺失。
• 通过白噪声扰动将随机扰动与福克-普朗克方程的不变测度联系起来，以量化网络层面的性质。
• 建立平稳测度的微分熵与耗散系统中全局吸引子几何维度之间的联系。
• 为理解噪声诱导动力学如何反映网络内在特性（如鲁棒性与结构复杂性）提供理论基础。

提出的方法

• 将生物网络建模为具有全局吸引子的耗散常微分方程（ODE）系统。
• 在 ODE 中引入小的加法白噪声扰动，从而导出随机微分方程（SDE）系统。
• 推导与之相关的福克-普朗克方程，以描述 SDE 概率密度函数的时间演化。
• 分析福克-普朗克方程的平稳测度（不变概率测度），即作为转移密度的长时间极限。
• 利用水平集方法与对平稳测度的正则性假设，估计密度在全局吸引子附近的集中程度。
• 对平稳密度进行熵分析，推导出当噪声强度 ε→0 时微分熵的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 噪声生物网络平稳测度的微分熵如何与其中全局吸引子的维度相关？
• RQ2 当噪声强度 ε 趋近于零时，不变测度的熵的渐近行为如何？
• RQ3 在何种条件下，平稳测度的熵与 log ε 呈线性比例关系？这又对网络结构意味着什么？
• RQ4 如何通过随机动力学与不变测度来数学形式化生物网络中的退化性概念？
• RQ5 平稳测度相对于吸引子的正则性在决定熵缩放行为中起什么作用？

主要发现

• 平稳测度的微分熵满足下界：liminf_{ε→0} H(μ_ε)/log ε ≥ n−d，其中 d 为全局吸引子维度，n 为环境维度。
• 在平稳测度相对于吸引子具有正则性的假设下，熵缩放达到等式：lim_{ε→0} H(μ_ε)/log ε = n−d。
• 平稳测度的熵渐近地与 log ε 成正比，比例常数等于吸引子在相空间中的余维数。
• 当 ε→0 时，平稳测度在全局吸引子附近被紧密集中，远离吸引子区域呈指数衰减。
• 水平集方法与熵的凸性估计可对吸引子邻域外区域的熵贡献进行有界估计。
• 研究结果为从生物网络几何与随机结构角度解释退化性与复杂性提供了理论基础。